Question

在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A=60°，AB=2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连接EF、EC、BF、CF．

若CD=2，求CF的长

Answer 1

因为AB=2CD，∠A=60°，所以AD=2AE=AB,且BE=AE=AF=DF=CD=2
又由于∠A+∠D=180°,所以∠D=120°
在三角形CDF中CF=2根号3

Answer 2

2倍的根号3
图形画着太麻烦，你自己整一下吧，证明三角形BCE和三角形FCE全等，三角形AEF为等边三角形

Answer 3

连接DE,明显DE垂直于AB。（因CD＝EB，角B是直角）
里面AF＝FD＝CD＝EF＝EB＝2
因角A＝60度,所以角AFE＝60度。角ADC为120度同，所以角DFC为30度。推出角EFC是直角。
又CE＝CE，EF＝EB。所以直角三角形CFE全等于直角三角形CBE。能求出CB的长不。2倍根3

Answer 4

：（1）平行四边形（2分）；

（2）△BEF≌△CDF（3分）或（△AFB≌△EBC≌△EFC）
证明：连接DE，
∵AB=2CD，E为AB中点，
∴DC=EB，
又∵DC∥EB，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵AB⊥BC，
∴四边形BCDE为矩形，
∴∠AED=90°，∠CDE=∠BED=90°，BE=CD，
在Rt△AED中，∠A=60°，F为AD的中点，
∴AF=

1
2
AD=EF，

∴△AEF为等边三角形，
∴∠DFE=180°-60°=120°，
∵EF=DF，
∴∠FDE=∠FED=30°．
∴∠CDF=∠BEF=120°，
在△BEF和△FDC中，
DF=EF∠CDF=∠BEF=120°DC=BE
，

∴△BEF≌△CDF（SAS）．（6分）（其他情况证明略）

（3）若CD=2，则AD=4，
∵∠A=60°，
∴sin60°=

DE
AD
=

3
2
，∴DE=AD•

3
2
=2

3
∴DE=BC=2

3
，

∵四边形AECD为平行四边形，
∴S△ECF与S四边形AECD等底同高，
∴S△ECF=

1
2
S四边形AECD=

1
2
CD•DE=

1
2
×2×2

3
=2

3
，S△CBE=

1
2
BE•BC=

1
2
×2×2

3
=2

3
，∴S四边形BCFE=S△ECF+S△EBC=2

3
+2

3
=4

3 ．（9分）