Question

设函数f(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a>0).(1)当a=1时，求f(x)单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为1/2，求a

Answer 1

解：已知：原函数f(x)=lnx+ln(2-x)+ax 且a>0.
(1).当a=1时，原函数f(x)=lnx+ln(2-x)+x
由对数函数的定义得不等式：x>0,且2-x>0
所以 0<x<2
函数的导函数f'(x)=1/x-1/(2-x)+1
=(2-x^2)/[x(2-x)]
=[(2^1/2-x)(2^1/2+x)]/[x(2-x)]
当0<x<2^1/2时，f'(x)>0 函数f(x)单调递增。
当2^1/2<x<2时，f'(x)<0 函数f(x)单调递减。
（2）
原函数的导函数为：f'(x)=1/x - 1/(2-x)+a =(1-x)(2ax+2)/[(1-x)(2-x)]>0 x在(0，1]
令f'(x)=0 得：
-ax^2+2(a-1)x+2=0
(1-x)(2ax+2)=0 即x=1时，函数有极值，x=-1/a(不合题意）
x=1,是函数的极值点，又是x的取值范围的最大值，
f(1)=a 故：a=1/2

Answer 2

1、
f(x)=lnx+ln(2-x)+x
f’(x)=1/x - 1/(2-x) + 1
令f(x)≥0，得：0＜x≤√2 或 x≥2
令f(x)＜0，得：√2 ＜ x ＜ 2
∴f(x)的单调递增区间为(0，√2]和[2，﹢∞) (这里不能用“∪”)
单调递减区间为(√2，2)

2、
f’(x)=1/x - 1/(2-x) + a
=1/x + 1/(x-2) + a
= [(x-2) + x + ax(x-2)] / [x(x-2)]
=[2(x-1) + ax(x-2)] / [x(x-2)]
∵x∈(0，1]，a＞0
∴x-1≤0，x-2＜0
∴2(x-1) + ax(x-2)＜0
又∵x(x-2)＜0
∴[2(x-1) + ax(x-2)] / [x(x-2)] ＞0
即f’(x)＞0
∴f(x)在(0，1]上单调递增
∴最大值为f(1)=ln1 + ln(2-1)+a = 1/2
即a=1/2