Question

求不定方程29a＋30b＋31c=2196的正整数解

Answer 1

29a＋30b＋31c=30a-a+30b+30c+c=30(a+b+c)-a+c=2196
30(a+b+c)=2196+a-c
a+b+c=(2190+6+a-c)/30=73+(6+a-c)/30
因为a,b,c均为正整数
且29a=2196-30b-31c 当b=c=1时 a＜74
30b=2196-29a-31c 当a=c=1时 b＜73
31c=2196-29a-30b 当a=b=1时 c＜69
6+a-c是30的倍数
设 6+a-c=30k, (k=0,1,2,3,........)
1)当k=0时，6+a-c=0时， c=6+a
则a+b+6+a=73
2a+b=67 b为奇数
b=1时 a=33 c=39
b=3时 a=32 c=38
.......
b=65 a=1 c=7
2)当k=1时，6+a-c=30时， c=a-24 a＞24
则a+b+a-24=73+1
2a+b=98 b为偶数
b=2时 a=48 c=24
b=4时 a=47 c=23
.......
b=48 a=25 c=1
3)当k=2时，6+a-c=60时， c=a-54 74＞a＞54
则a+b+a-54=73+2
2a+b=129 b为奇数
b=1时 a=64 c=10
b=3时 a=63 c=9
.......
b=19 a=55 c=1

4)当k=3时， 6+a-c=90时， c=a-84， 不合题意
当k＞3时，易得方程不成立
所以 k=0, 1, 2
不定方程29a＋30b＋31c=2196的正整数解
为上面的（1）（2 ）（3）

Answer 2

71≤a+b+c≤75
a b c正整数解很多
比如
55 19 1
56 17 2
57 15 3
1 3 67
……