Question

求一正交矩阵Q，使得QTAQ为对角型。

设A=
3 1 1
1 3 1
1 1 3

求一正交矩阵Q，使得QTAQ为对角型。

Answer 1

|A-λE| =
3-λ 1 1
1 3-λ 1
1 1 3-λ
= -(λ - 5)*(λ - 2)^2.
所以A的特征值为: 5,2,2
解(A-5E)X = 0得基础解系: a1=(1,1,1)^T
解(A-2E)X = 0得基础解系: a2=(1,-1,0)^T,a3=(1,0,-1)^T
将a1,a2,a3正交化得
b1=(1,1,1)^T
b2=(1,-1,0)^T
b3=(1/2,1/2,-1)^T
单位化得
c1 = (1/√3, 1/√3,1/√3)^T
c2 = (1/√2, -1/√2, 0)^T
c3 = (1/√6, 1/√6, -2/√6)^T
得正交矩阵Q =
1/√3 1/√2 1/√6
1/√3 -1/√2 1/√6
1/√3 0 -2/√6

满足 Q^TAQ = diag(5,2,2)