Question

数学题目，高二导数题目

记得写解题过程啊！！！！！ 1、如上图：一个圆锥形容器轴截面的顶角为60°。向容器中注水，当水面高度从H变化到（2/3）H 时，求水的体积V的平均变化率。 2、求证：函数y=x+（1/x） 的图像上各点处的切线斜率均小于1 。 3、已知抛物线C1：y1=x^2+2x ; C2：y2= - x^2+a 。 若直线L同时是C1和C2的切线，则称L是C1和C2的公切线 。 问：当a取什么值时，C1和C2 有且仅有一条公切线？并写出这条公切线的方程。 4、已知 f（x）= x^2+ax+b ， g（x）=x^2+cx+d ，且f(2x+1)=4g(x) ，f'(x)=g'(x) ，f(5)=30 ，求g(4). 5、已知函数f(x)=ax^3+x 恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出单调区间。 嗯，能做多少做多少吧 。 绝望了 要有过程的啊 ！！！！ 谢谢！谢谢了！

Answer 1

（1）是注水还是放水？
（2）由y=x+（1/x）
y对x求导：y′=1-（1/x²）， ∵x≠0，∴y′=1-（1/x²）＜1.。
（3）由y1=x²+2x，∴y1′=2x+2
y2=-x²+a，y2′=-2x，
∵L是C1和C2的公切线，
∴2x+2=-2x，x=-1/2.
当x=-1/2时，y1′=y2′=1 .∴L：y=x+b，联立y2=x²+2x
x²+2x=x+b，
x²+2x-x-b=0
1+4b=0
b=-1/4，
即L：y=x-1/4，
x-1/4=-x²+a
x²+x-（a+1/4)=0
1+4（a+1/4）=0
a=-1/2.
（4）由f（x）=x²+ax+b，f′（x）=2x+a，
g（x）=x²+cx+d，g′（x）=2x+c，
∵f′（x）=g′（x），∴a=c。
由f（5）=30，
∴5²+5a+b=30,
5a+b=5
由f（2x+1）=4g(x)
(2x+1)²+a（2x+1)+b=4（x²+cx+d）
。。。。。
（5）由f（x）=ax³+x，
f′（x）=3ax²+1=0
当a＜0时，x²=-1/3ax=±√（-1/3a）恰有两个极值，即有三个单调区间。
比如a=-3，x=1/3或者-1/3，
x=1/3时，f（1/3）=2/9，（1/3,2/9）
x=-1/3时f（-1/3）=-2/9 （-1/3，-2/9）
x∈（-∞，-1/3）单调减，
（-1/3,1/3）单调增加，
（1/3，+∞）单调减。′