Question

八下数学，动点问题

阅读材料：在一直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。由上面材料回答下面问题。如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，BC=8，点M是AD的中点，∠AMB=60°。动点P从B出发，动点Q从C出发，均以1cm/s的速度分别沿BC方向、CM方向向终点C、M运动，若其中有一点先到终点，则另一点也随之停止，设运动时间X秒。

（1）判断三角形BCM的形状（直接写出答案）并计算当三角形PMQ为直角三角形时X的值。
（2）当x为何值时，以点P，M和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并写出符合条件的平行四边形
（3）是否存在这样的X，使三角形PMQ的面积是等腰梯形ABCD面积的一半，若存在，求出X的值，若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）⊿MBC为等边三角形。

当∠ PQC为直角时，2x=8-x, x=8/3

当∠ QPC为直角时，x=2（8-x）, x=16/3

(2)当AB//MP时，x=2

当CD//MP时，8-x=2, x=6

所以，当x=2时，四边形ABPM为平行四边形，

或x=6时，四边形ABPM为平行四边形。

（3）不存在。

理由：S⊿MPQ=1/2*（8-x）*（8-x）/2

= 1/4 *（8-x)^2 (0≤X ≤8)

当x=0时 ,S⊿MPQ的最大值为16，

而等腰梯形ABCD面积的一半为1/2*(4+8)* 4√3*1/2=12√3 ＞16,

所以，不存在这样的x值，使三角形PMQ的面积是等腰梯形ABCD面积的一半。

Answer 2

（1）正三角形。
角PMC和角MPQ永远小于60°，故能成为直角的只有∠MQP
当∠MQP为直角时，可以用面积法来求。
PC=8-X，正三角形MPC的高（设为h）为4根号3
△PMC面积为1/2（PC*h） 由∠PQC=90°可以用勾股定理，PC²-QC²=PQ²
△PMC面积为1/2(MC*PQ）就可以得到等式 我解出来的X等于8/3（这一问2L的方法好些，但不过他好像答案错了，他把AD当成2了）
（2）当BP=2时 有AMPB及MDPB
当PC=2时有AMCP及MDCP
（3）由第一问可知，梯形高为4根号3
故梯形面积为24根号3
所以△PMQ面积为12根号3，则梯形AMPB，三角形PQC，△MDC面积和也为12根号3
梯形AMBP面积为(AM+BP)*（4根号3）*1/2 AM=2 BP =x
△PQC面积为1/2(PC*高）PC=8-X，由QC=X，∠MCP=60°可知高为X*二分之根号三
三角形MDC面积为MD*h*（1/2） MD=2 h=4根号3
这样可以列出等式求解
最终求出X有一根小于0 另一根大于8
故无解

追问

额，X解出来到底是什么？可以确切点吗，劳烦。谢谢。

Answer 3

1.等边三角形
三角形PMQ为直角三角形时，PQC也是直角三角形，且角PCQ=60°
∠QPC=30°QC=1/2PC X=1/2(8-X)X=16/3
2.有4个 AMPB APCM MBPD MPCD
3.
先求梯形面积=（2+8）*4根3/2=20倍根3
三角形PMQ=梯形减去四个三角形面积=10根3
amb=cmd=2*4根3/2*2=8根3
mbp=4根3*x/2
pqc=(8-x）*1/2 /2 高用30°去求

列总式去求吧

Answer 4

△BCM为等边三角形