Question

设fx=-x^3+3/2x^2+6ax.求(1)当a=1时，求fx在区间[1，4]上的最值；(2)若fx在（2，正无穷）上存在单调递...

设fx=-x^3+3/2x^2+6ax.求(1)当a=1时，求fx在区间[1，4]上的最值；(2)若fx在（2，正无穷）上存在单调递增区间，求a的取值范围。

Answer 1

f '(x)= - 3x^2+3x+6=-3(x+1)(x-2)
令 f '(x)=0 ==>x1=-1;x=2=2,
因为-3<0
所以 f(x)图像呈大N倒影字样，极小值点为x=-1,极大值点为x=2;
因为f(x)在【1，4】上的单调性的情况是：先减、后减；
f(MAX)=f(2)=10
f(min)是两个端点f(1)与f(4)中的一个，
而 f(1)= - 1+3/2+6=13/2
f(4)= - 64+24+24=-16
所以f(min)= - 16
(2)
说明一下：你打字可能打错了，应该是在（2，+∞）存在单调递减区间，求a的取值范围。因为整个图像是先减、后增、再减，而再减的区间是一个无限区间。正好与（2，+∞）这个无限区间
匹配。
解：
f '(x)= - 3x^2+3x+6a
因为 f(x) 在（2，+∞）存在单调递减区间，对应的导函数不等式被解译为
f '(x)<0的大根x2不大于2；也就是大根 x2≤2
而 对称轴为：x=3/2所以
x2≤2 <==>{f '(2)≤0 ==> {-12+6+6a≤0
{Δx≥0 ==> {9+72a≥0
...........................................................
所以： - 1/8≤a≤1

Answer 2

1、当a=1时，f'(x)=－3x²＋3x＋6=－3(x－2)(x＋1)，则函数f(x)在(－∞，－1)上递增，在(－1，2)上递减，在(2，＋∞)上递减，则函数f(x)在[1，4]上的最大值是f(4)，最小值是f(1)
2、f'(x)=－3x²＋3x＋6a，在区间(2，＋∞)上存在单调增区间，则：f'(2)>0，即：
f'(2)=6a－6>0，得：a>1