Question

求教大师们：为什么欧氏几何学被称为欧式空间中的几何学，这跟线性空间有什么关系？

Answer 1

欧式几何公设　　欧式几何的传统描述是一个公理、公设系统，通过有限的公理、公设来证明所有的“真命题”。

　　欧式几何的五条公设是：

　　1、任意两个点可以通过一条直线连接。

　　2、任意线段能无限延伸成一条直线。

　　3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。

　　4、所有直角都全等。

　　5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。

　　欧式几何的五条公理是：

　　1、等于同量的量彼此相等。

　　2、等量加等量，其和仍相等。

　　3、等量减等量，其差仍相等。

　　4、彼此能够重合的物体是全等的。

　　5、整体大于部分。

导出命题　　第五条公理称为平行公理，可以导出下述命题：

　　通过一个不在直线上的点，有且仅有一条与该直线平行的直线。 平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里德几何，说明平行公理是不能被证明的。（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何。）

　　从另一方面讲，欧式几何的五条公理并不完备。例如，该几何中的有定理：任意线段都是三角形的一部分。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。 因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。

追问

可是这没能解释为什么欧氏几何学被称为欧式空间中的几何学！

追答

欧式空间就是指欧式几何学成立的空间。
即：
5条公设、5条公理在该空间中都成立。

非欧式空间，如黎曼空间，就是不满足第五公理的空间。

追问

那为什么叫指欧式几何学成立的空间 欧式几何是几何学 线性空间是代数学里的 这用了什么方法把他们融为一体？