Question

2012重庆中考数学第16题。解析。要详细的过程。

甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌．规定每人最多两种取法，甲每次取4张或(4一k）张，乙每次取6张或（6一k张（k是常数，0<k<4)．经统计，甲共取了15次，乙共取了17次，并且乙至少取了一次6张牌，最终两人所取牌的总张数恰好相等，那么纸牌最少有____________张。

Answer 1

甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌．规定每人最多两种取法，甲每次取4张或（4-k）张，乙每次取6张或（6-k）张（k是常数，0＜k＜4）．经统计，甲共取了15次，乙共取了17次，并且乙至少取了一次6张牌，最终两人所取牌的总张数恰好相等，那么纸牌最少有
108
108
张．
考点：应用类问题．
专题：应用题．
分析：设甲a次取（4-k）张，乙b次取（6-k）张，则甲（15-a）次取4张，乙（17-b）次取6张，从而根据两人所取牌的总张数恰好相等，得出a、b之间的关系，再有取牌总数的表达式，讨论即可得出答案．
解答：解：设甲a次取（4-k）张，乙b次取（6-k）张，则甲（15-a）次取4张，乙（17-b）次取6张，
则甲取牌（60-ka）张，乙取牌（102-kb）张
则总共取牌：N=a（4-k）+4（15-a）+b（6-k）+6（17-b）=-k（a+b）+162，
从而要使牌最少，则可使N最小，因为k为正数，函数为减函数，则可使（a+b）尽可能的大，
由题意得，a≤15，b≤16，
又最终两人所取牌的总张数恰好相等，
故k（b-a）=42，而0＜k＜4，b-a为整数，
则由整除的知识，可得k可为1，2，3，
①当k=1时，b-a=42，因为a≤15，b≤16，所以这种情况舍去；
②当k=2时，b-a=21，因为a≤15，b≤16，所以这种情况舍去；
③当k=3时，b-a=14，此时可以符合题意，
综上可得：要保证a≤15，b≤16，b-a=14，（a+b）值最大，
则可使b=16，a=2；b=15，a=1；b=14，a=0；
当b=16，a=2时，a+b最大，a+b=18，
继而可确定k=3，（a+b）=18，
所以N=-3×18+162=108张．
故答案为：108．
点评：此题属于应用类问题，设计了数的整除、一次函数的增减性及最值的求法，综合性较强，解答本题要求我们熟练每部分知识在实际问题的应用，一定要多思考．

Answer 2

自然且有逻辑的思维是：
（1）设甲所取的最少纸牌张数M=15(4一k)；乙所取的最少纸牌张数N=6+16（6一k）.则M、N均是关于K的一次减函数。
(2)因为k是常数，且0<k<4，K是整数。所以K=3时，M的最小值是15，N的最小值是54，
（3）又因为最终两人所取牌的总张数恰好相等，所以N取最小值54时，甲每次可取4张或(4一3）=1张，那么甲取15次可以使其张数为54.
（4）那么纸牌最少有54×2=108（张）

此题对考查基础知识和基本能力有很好的体现，是一个立意优秀的好试题。但在数值的设计上欠妥。因为此题位于把关性的选拔性试题位置。既然是考查学生双基的选拔性试题，就要减少答题者投机取巧的成份。但是，若答题者没有思路，冒险地想一副牌是54张，两付牌是108张，能“巧合”地得到无需解答过程的填空题的正确答案。若在数值的设计上规避一副牌54张这个太熟悉的背景，此题把关性的选拔性功能将得到更好的体现。

Answer 3

解：设甲A次取（4-k）张，乙B次取（6-k）张，则甲（15-A）次取4张，乙（17-B）次取6张，则：4A+（4-k）(15-A)=6B+（17-B)(6-k）
k(A-B+2)=42
k是常数，0<k<4 即k=1,2,3 则k=3
即：A-B=12
由于： A≤15 ，1≤B≤16 则A=13 ，14 ，15
纸牌总数=2[4A+（4-k）(15-A）]
=2[3A+15]
纸牌最少时，则A最小 ，即A=13
得纸牌最少数为108

Answer 4

解：设甲a次取（4-k）张，乙b次取（6-k）张，则甲（15-a）次取4张，乙（17-b）次取6张，
则甲取牌（60-ka）张，乙取牌（102-kb）张
则总共取牌：N=a（4-k）+4（15-a）+b（6-k）+6（17-b）=-k（a+b）+162，
从而要使牌最少，则可使N最小，因为k为正数，函数为减函数，则可使（a+b）尽可能的大，
由题意得，a≤15，b≤16，
又最终两人所取牌的总张数恰好相等，
故k（b-a）=42，而0＜k＜4，b-a为整数，
则由整除的知识，可得k可为1，2，3，
①当k=1时，b-a=42，因为a≤15，b≤16，所以这种情况舍去；
②当k=2时，b-a=21，因为a≤15，b≤16，所以这种情况舍去；
③当k=3时，b-a=14，此时可以符合题意，
综上可得：要保证a≤15，b≤16，b-a=14，（a+b）值最大，
则可使b=16，a=2；b=15，a=1；b=14，a=0；
当b=16，a=2时，a+b最大，a+b=18，
继而可确定k=3，（a+b）=18，
所以N=-3×18+162=108张．
故答案为：108．