Question

已知向量a,b满足丨a丨=1,丨b丨=1.

1.若丨ka+b丨=√3丨a-kb丨（k>0），f(k)=a*b,求f(k)的单调区间
2若a,b相互垂直，是否存在整数k,使向量m=ka+b与n=a+kb的夹角为60°，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由
麻烦详细点~

Answer 1

1, 由于丨ka+b丨=√3丨a-kb丨得到
|ka+b|^2=3|a-kb|^2, 即k^2a^2+2ka*b+b^2=3(a^2-2ka*b+k^2b^2)
而|a|=1, |b|=1
所以7ka*b=2+2k^2
所以f(k)=(2+2k^2)/(7k）=2/7*[k+1/k]
由于k>0， 所以k+1./k在（0，1）上单调递减， 在(1，+∞)上单调递增，
因此f(k)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).
2.由于a与b垂直，所以a*b=0
要使向量m=ka+b与n=a+kb的夹角为60°，
即cos60°=m*n/[|m||n|]=1/2
即m*n=1/2|m|*|n|
而m*n=(ka+b)*(a+kb)=ka^2+(1+k^2)a*b+kb^2=2k
|m|^2=|ka+b|^2=k^2a^2+2ka*b+b^2=1+k^2
|n|^2=|a+kb|^2=a^2+2ka*b+k^2b^2=1+k^2
所以2k=1/2(1+k^2)
解得k=2+√3, 或k=2-√3.