Question

已知a>0,且a≠1,f(x)=1/x-a^x,当x∈(1,+∞)时,均有f(x)<1/2,则实数a的取值范围为

为什么a＞1/2
当a∈（0,1） 怎么求范围
别告诉我画图有一个交点
一个交点等价于1/（x^2）+a^（x）lna＞0 其中x＞1 a∈（0，1） 证明这个也行

Answer 1

分类.1)a<1/2时，取x趋向1,f(x)趋向1-a>1/2,故必有x>1,使f(x)=1/2.下证a＞1/2满足条件
2)y=a^x∈(0,a),x=log(a)y=lny/lna
1/（x^2）+a^（x）lna=lna(lna/(lny)^2+y),lna<0
g(y)=lna/(lny)^2+y,g'(y)=-lna/y*(lny)^3+1 又
lna/lny∈(0,1).故
g'(y)>-1/y*(lny)^2+1.下证y*(lny)^2>1.令h(y)=(lny)^2-1/y,h'(y)=2lny/y+1/y.y=1/e^2,h'(y)=0
但y>1/2>1/e^2,故
h(y)>h(1/2)=(ln2)^2-2.又e^根号2>e>2,故h(1/2)>0
所以(lny)^2>1/y,y*(lny)^2>1
所以g'(y)>0
所以g(y)<g(a)=1-a<1/2

追问

g(y)=lna/(lny)^2+y,g'(y)=-lna/y*(lny)^3+1 不对
f(x)=1/x-a^x a∈（0，1/2）显然不行
a∈（1，+无穷）必然成立a=1/2时
f(x)=1/x-a^x x=log(a)t=lnt/lna t∈（0，a）
f’（x）=-1/(x^2)-a^xlna=(-lna/(lnt)^2)(lna+t(lnt)^2)
(t(lnt)^2)’=(lnt)^2+2lnt 可见t∈（0,1/e^2）增（1/e^2，a）减 最大值4/e^2
lna+t(lnt)^2＜0 此时导函数恒＜0 f（x）max=1-1/2=1/2 不可取a=1/2成立然后画图知a＞1/2成立