Question

高数中格林公式的应用问题

目前是大一 刚学完高数。、
1.突然格林公式的定义里面有一条说要应用于：光滑的曲线
可是，平常做题对于折线并没有什么特殊的处理，也没有出过错误，老师也从没提过这一条，这是为什么？
2.一道格林公式的简单题目把我弄郁闷了：线L沿着y=1-|x-1|折线从（0,0）到（2,0）
求 ∫L （-ydx+xdy） 我用普通的方法做出来是-2，答案也确实是-2，但是 用了格林公式，做出来结果是2，求高手解答

学生谢过了

Answer 1

1、Green公式要求的边界条件没有必要是光滑曲线，只要是简单曲线就可。
简单点说，就是我们常见的自身不相交的曲线就可以，也就是曲线上出了起点和
终点允许重合，别的点不许重合，这样的曲线就可以。
2、你用错Green公式了。Green 公式要求边界是闭曲线，本题中不是，因此需要补线。
另外，还要求曲线是逆时针方向，本题补上从(0，0)到(2，0)的线段S后不是逆时针，
因此需要添上一个负号才行。
具体做法如下：S的方向是从(0，0)到(2，0)，因此L并S^(－)是顺时针方向的，其中S^(－)从
(2，0)到(0，0)。于是用Green公式有
原积分＝L并S^(－)的积分+S上的积分
＝－2三角形面积+S的积分 (*)
三角形面积是1，S的参数是y＝0，0<x<=2，代入得其积分是0。
因此最后结果是－2。
注意(*)式是因为积分是顺时针的，添负号后是逆时针的，才能用Green公式。

Answer 2

（1）格林公式只要求边界曲线逐段光滑，折线自然逐段光滑。
（2）是你计算错误，利用格林公式计算得到的答案同样是-2。

Answer 3

1、光滑曲线指的是曲线的方程的导函数存在，且连续。如果是参数方程x=x(t)，y=y(t)，那就是dx/dt，dy/dt存在，且都连续。这个条件一般情况下都满足。
2、注意方向。
使用格林公式时，曲线必须是闭曲线，这里要补上x轴一段。曲线的方向是负向，所以二重积分前面要加负号