Question

关于斯托克斯公式的问题，求大神指点！！

设L是柱面x^2+y^2=1与平面z=x+y的交线，从z轴正向往负向看去为逆时针方向，则曲线积分∫ xzdx+xdy+y^2/2dz=__ （由于打不出曲线积分符号，，凑合看吧。。）谢谢啦。。要过程。

Answer 1

记S是平面z＝x+y上被x^2+y^2=1围出来的那一部分，法向量是（－1，－1，1)/根号(3)，
与题目要求的L的定向是协调的。S的方程为z＝x+y，x^2+y^2<=1。由Stokes公式有
原积分＝
1/根号(3)*第一型面积分_S |－1 －1 1
a/ax a/ay a/az
xz x y^2/2 | dS
＝1/根号(3)*第一型面积分_S (1－x－y)dS
注意到曲面S关于yz平面对称，被积函数x关于yz平面奇对称，因此积分值是0，
同理y的积分值是0，而1的积分只是曲面S的面积。
＝1/根号(3)*二重积分_D 根号【1^2+(－1)^2+(－1)^2】dxdy
＝pi。
其中D是圆x^2+y^2<=1