Question

如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O事AC边上的一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC于点E.

请回答以下问题：（1）试说明：△ABF∽△COE；（2）当O为AC边的中点，且AC：AB=2时，如图2，求OF：OE的值；（3）当O为AC边的中点，且AC：AB=n时，请直接写出OF：OE的值.

第2问需要做辅助线，不能作OG⊥AC，交AD的延长线于G，要用另一种辅助线方法，
第2问需要做辅助线，不能作OG⊥AC，交AD的延长线于G，要用另一种辅助线方法，
第2问需要做辅助线，不能作OG⊥AC，交AD的延长线于G，要用另一种辅助线方法，
第2问需要做辅助线，不能作OG⊥AC，交AD的延长线于G，要用另一种辅助线方法，
第2问需要做辅助线，不能作OG⊥AC，交AD的延长线于G，要用另一种辅助线方法，

Answer 1

（1）∵AD⊥BC
∴∠DAC+∠C=90度
∵∠BAC=90°
∴∠BAF=∠C
∵OE⊥OB
∴∠BOA+∠COE=90°
∵∠BOA+∠ABF=90°
∴∠ABF=∠COE
∴△ABF∽△COE 。
（2）∵AC：AB=2
∴ ∠ABF=∠COE=∠BOA=45°
O为AC边中点,即OC=AB
在三角形OEC中，作EM⊥OC，交点为M
在三角形ABF中，作FP⊥AB交于AB于P
在三角形AFO中，作FN⊥AO交于AO于N
则ΔBPF ≌ΔOME
∴ OE:OF=BF:OF
∵ ΔBPF∽ΔFNO
∴ BF:OF=PF:NO=PF:FN
∵ ∠PAF=∠ACB
∴ PF:FN=AB:AC=1:2
∴ OF:OE=2

（3）
解法1：
∵∠BAD+∠DAC=90°， ∠DAB+∠ABD=90°
∴∠DAC=∠ABD
又∠BAC=∠AOG=90°， AB=OA
∴△ABC≌△OAG
∴OG=AC=2AB
∵OG⊥OA
∴AB∥OG
∴△ABF∽△GOF
∴ OF/BF=OG/AB
OF/OE=OF/BF=OG/AB=2。
解法2：
过O作AC垂线并交BC于H
∵∠AFB=∠OEC
∴∠AFO=∠HEO
∵∠BAF=∠ECO
∴∠FAO=∠EHO
∴△OEH∽△OFA
∴OF：OE=OA：OH=2：1
故 OF：OE=2