Question

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点分别为F1,F2,MN是椭圆右准线上的两个动点,且F1M*

如图,椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1、F2,M、N是椭圆右准线上的两个动点，且向量F1M*向量F2N=0（1）向量OM*向量ON为定值（2）设椭圆离心率为1/2，MN的最小值为2根号15，求椭圆方程

Answer 1

解 F1(--c,0) F2(c,0) 右准线 x=a^2/c M(a^2/c, y1) N(a^2/c,y2)
F1M向量（a^2/c+c,y2） F2N 向量(a^2/c--c,y2)
向量F1M*向量F2N=a^4/c^2--c^2+y1y2=0 y1y2=c^2-- a^4/c^2
向量oM*向量oN=a^4/c^2+y1y2=a^4/c^2+c^2--a^4/c^2=c^2 所以向量OM*向量ON为定值
（2）e=c/a=1/2 a=2c a^2=4c^2 b^2=3c^2 MN=y1--y2=
MN^2=y1^2+y^2--2y1y2
y1y2=c^2--a^4/c^2=c^2--16c^4/c^2=--15c^2 <0 即y1与 y2为异号
y1^2+y2^2>=2√[(--y1y2)^2]=--2y1y2>0
MN^2=y1^2+y^2--2y1y2>=--2y1y2--2y1y2=--4y1y2=+60c^2
MN的最小值为√60c=2√15 c=1
所以椭圆方程：x^2/4+y^2/3=1