Question

初三数学动点问题

在直角梯形OABC中，角A为直角，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标为（14，0）、（14，3）、（4，3），点P\Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位；点Q沿OC、CB向终点B运动。当这两个点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。1、设从出发起运动了X秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试分别写这时点Q在OC上或在CB上时的坐标（用含X的代数式表示，不要求写出X的取值范围）；2、设从出发起运动了x秒，如果点P与点Q经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长一半。（1）用含有x的代数式表示这时点Q所经过的路程；（2）试问：这时直线PQ是否可能同时把梯形OABC的面积分成相同的两部分？如有可能，求出相应的x值和P,Q的坐标；如果不可能，请说明理由。

Answer 1

解：1、设Q点运动的时间为X，则Q在OC上运动时，其横坐标为为2X*4/5=8X/5，纵坐标为2X*3/5=6X/5，这个时间段X大于零小于等于2.5；当Q在CB上运动时，其横坐标为4+2（X-2.5）=2X-1，纵坐标为3，这个时间段X大于2.5小于等于7.5
2、（1）梯形OABC的周长为5+10+3+14=32，设Q点运动的速度为V，则根据题意有VX+X=32/2，解之得V=（16-X）/X，所以Q点所经过的路程为S=16-X
（2）假设这时直线PQ能同时把梯形OABC的面积分成相同的两部分，则根据题意有：1/2*[（16-X-5）+X]*3=1/2*[（15-16+X）+（14-X）]*3，解之得：11=13，这是矛盾的的结果，所以直线PQ是不可能同时把梯形OABC的面积分成相同的两部分。

Answer 2

分析：（1）①根据相似三角形的性质即可求得点Q在OC上时的坐标；根据路程即可求得点Q在CB上时的横坐标是2t-5，纵坐标和点C的纵坐标一致，是3；
②显然此时Q在CB上，由平行四边形的知识可得，只需根据OP=CQ列方程求解；
（2）①设Q的速度为v，根据P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半，即可建立函数关系式；
②显然Q应在CB上，根据面积和①中的结论得到关于t的方程，进行求解．解答：解：（1）①点Q在OC上时Q（8/5t，6/5t）
点Q在CB上时Q（2t-1，3）．
②显然Q在CB上，由平行四边形的知识可得，只须OP=CQ
所以2t-5=t得t=5．

（2）①设Q的速度为v，先求梯形的周长为32，可得t+vt=16，
所以v=16-tt
点Q所经过的路程为16-t．
②不能．
显然Q应在CB上，先求梯形的面积为36，可得[(t-1)+(14-t)]•32=18，
此时符合条件的t不存在．点评：能够熟练根据相似三角形的性质、平行四边形的性质和路程=速度×时间解决这类运动的问题．