Question

设X.Y是实数，且满足X^2+XY+Y^2=3,求u=X^2-XY+Y^2的最大值与最小值

换元。可设
x=a+b, y=a-b
这样换元的目的是为了什么

Answer 1

解
换元。可设
x=a+b, y=a-b
一方面，可得：3a²+b²=3
另一方面， a²+3b²=u
解这个关于a, b的方程组，
a²=(9-u)/8. b²=3(u-1)/8
∴ 9-u≥0且n-1≥0
∴1≤u≤9
大=9， 小=1

Answer 2

x^2+xy+y^2=2
(x-y)^2+3xy=2
(x-y)^2=2-3xy≥0
xy≤2/3
x^2+xy+y^2=2
(x+y)^2-xy=2
(x-y)^2=2+xy≥0
xy≥-2
所以 -2≤xy≤2/3
x^2-xy+y^2=u
x^2+xy+y^2=2
等式两边相减
-2xy=u-2
因为 -2≤xy≤2/3
所以 4≥u-2≥-4/3
即 2/3≤u≤6

Answer 3

2X+XY+2Y=3