Question

已知二次函数f（x）=x^2+x，若不等式f（-x）+f（x）≤2丨x丨的解集为C

（1）求集合C （2）若方程f（a^x）-a^（x+1）=5（a＞1）在C上有解，求实数a的取值范围

Answer 1

解：（1）原不等式可转换为2x2≤2|x|，
当x≥0时，2x2≤2x，解得0≤x≤1 （2分）
当x＜0时，2x2≤-2x，解得-1≤x＜0，所以C=[-1，1]（4分）
（2）由f（ax）-ax+1-5=0得（ax）2-（a-1）ax-5=0
令ax=u，因为x∈[-1，1]，所以u∈[1 a ，a]
则问题转化为求u2-(a-1)u-5=0在[1 a ，a]内有解．（6分）
（7分）
由图象及根的存在性定理得 h(1 a )=1 a2 -1+1 a -5≤0 h(a)=a2-(a-1)a-5≥0   （9分）
解得a≥5．（10分）
（3）A=[-1 4 ，2]g′（x）=3x2-3t≥0（因为t≤0）
所以g(x)=x3-3tx+t 2 ，在x∈[0，1]上单调递增．
所以函数g（x）的值域B=[t 2 ，1-5 2 t]（13分）
因为A⊆B，所以 t 2 ≤-1 4  2≤1-5 2 t   解得t≤-1 2 （16分）

 

Answer 2

解： 因为（x）=x^2+x
所以f（-x）=x^2-x
f（-x）+f（x）=x^2+x+x^2-x=2x^2
所以：2x^2≤2丨x丨
解不等式得：-1≤x≤1。即结合C为[-1,1]

Answer 3

解：（1）f（-x）=x^2-x
f（-x）+f（x）=x^2+x+x^2-x=2x^2
f（-x）+f（x）≤2丨x丨即 x^2≤丨x丨
两边同时平方 x^4<=x^2 x^2(x^2-1)<=0 x^2(x+1)(x-1)<=0
解集为 -1<=x<=1

(2)f（a^x）-a^（x+1）=5代入函数解析式
（a^x)^2+(a^x)-a^(x+1)=5
（a^x)^2+(1-a)(a^x)-5=0
取t=a^x,因f(t)=a^t(a>1)在R上单调递增且函数值大于0，所以t>0
又因-1<=x<=1,所以1/a<=t=a^x<=a 即0<1/a<=t<=a
根据题意 关于t的方程t^2+(1-a)t-5=0 在[1/a,a]上必须有解
首先必须保证 该方程△=（1-a)^2+20>=0,显然这是成立的
其次要保证该交点落在[1/a,a]上
必须 f(1/a)>=0且f(a)>=0
代入 得
（1/a^2)+(1-a)(1/a)-5>=0 (1)
a^2+a(1-a)-5>=0 (2)
解（1） 1/a>=2 即 a>=1/2
解 (2) a>=5
所以 a 的取值范围是 a>=5