Question

想问问一个线性代数的问题

为什么（A,E）经过初等变换之后就变成了（E，A逆）呢？

还有在求矩阵方程的时候X=C（A逆）
（A，C）经过初等变换就变成了（E,CA逆）
呢？

Answer 1

答: 当A可逆时, A^-1也可逆, 且可以表示为初等矩阵的乘积
设 A^-1=P1P2...Ps, 其中Pi是初等矩阵
则 P1P2...Ps(A,E)= A^-1(A,E)= (A^-1A,A^-1E)= (E,A^-1)
因为一个矩阵左乘初等矩阵相当于实施相应的初等行变换
所以 (A,E)经过初等变换之后就变成了(E,A^-1).

(A,C) 经过初等行变换变成 (E,A^-1C)
这是解 AX=C 形的矩阵方程
原理与上面相同
P1P2...Ps(A,C)= A^-1(A,C)= (A^-1A,A^-1C)= (E,A^-1C)

Answer 2

对(A,E)进行行初等变换就相当于左乘一系列的初等矩阵。对一个可逆的矩阵A，经过若干次行初等变换后，可以变为行最简形。可逆矩阵的行最简形就是单位矩阵E。假设这一系列的初等矩阵的乘积是B，则B(A,E)=(E,？)，问号？处的矩阵会是什么呢？它等于BE=B。那么B=？因为BA=E，所以B是A逆。
求A的逆就是求解矩阵方程AX=E，一般的矩阵方程AX=C的解法也是一样，对(A,C)进行行初等变换，把A变为E，那么C就会变成方程的解：(A逆)C