Question

如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=4，∠BAC=∠DEF=90°，

固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G，H点，如图（2）（1）问：始终与△AGC相似的三角形有△HAB及△HGA；（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图（2）的情形说明理由）；（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形

Answer 1

1) 因为角AGH=角B+角BAG，角BAH=角GAH+角BAG，并且角B=角GAH=角GCA=45度，所以三角形HAB，HGA和AGC两两相似。
2）由三角形HAB和AGC相似得，CG/AC=AB/BH，即x/4=4/y，即xy=16.
3) 三角形AGH等腰，角GAH始终是45度。若角AHG=45度，则AG垂直于BC，即x=2根号2；若角HGD=45度，则G与B重合，x=4；若角AHG=角HGD，设BC中点为K，则角BAG=角HAG=角KAH=22.5度，即AH是角KAC的平分线。故AK/AC=KH/HC，即(2根号2)/4=1/根号2=KH/HC，又KH+HC=KC=2根号2，故KH=4-2根号2=kG，故x=KC+KG=
3) 三角形AGH等腰，角GAH始终是45度。若角AHG=45度，则AG垂直于BC，即x=2根号2；若角HGD=45度，则G与B重合，x=4根号2；若角AHG=角HGD，设BC中点为K，则角BAG=角HAG=角KAH=22.5度，即AH是角KAC的平分线。故AK/AC=KH/HC，即(2根号2)/4=1/根号2=KH/HC，又KH+HC=KC=2根号2，故KH=4-2根号2=kG，故x=KC+KG=2根号2+4-2根号2=4.

Answer 2

(1)∠ACG=∠ABH=∠GAH=45°，
∠GAC=∠AHB=∠AHC,故△AGC始终相似于△HAB及△HGA
(2)CG/sin∠GAC=AC/sin∠AGC=4/sin∠AGC, CGsin∠AGC=4sin∠GAC
BH/sin∠BAH=AB/sin∠AHB=4/sin∠GAC, BHsin∠GAC=4sin∠AGC
两式相乘，即得xy=16
(3)BC=4√2，GH=BH-(BC-CG)=BH+CG-BC=BH+CG-4√2
当DF与AC重合时，△AGH是等腰，此时x=2√2
当∠GDF的平分线与∠BAC的平分线重合时，△AGH是等腰三角形，此时x=4-2√2
不知道对不对，请指正

Answer 3

第一问
∠B=∠ACB=∠CAF=∠AFE=45
∠GAC+∠CAF=∠EAF=45
∠H+∠CAF=∠ACB=45
∠H=∠GAC
两个角相等于是相似
第二问
根据相似有
CG/AC=AB/BH
x/AC=AB/y
y=16/x
第三问
AGH为等腰三角形时，∠GAF=∠H=45
即G为BC中点，H和C重合
x=CG=BC/2=2√2