Question

已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G

在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等边三角形且DG∥BC ∴△AGD为等边三角形
∴AD=AG=GD ∠BAD=∠EAG=60 又DE=DC ∴DE+GD=DC+AD=AB ∴AB=GE
∴△AGE≌△DAB
（2）解：(2)∵△AGE≌△DAB
∴AE=BD
又∵∠ADG=∠ACB=60,ED=CD
∴△CDE为等边三角形，CE=CD.
∵CE=CD,AE=BD,BC=AC,
∴△ACE≌△BCD,∠CAE=∠CBD①
∵EG‖BC,BD‖EF
∴四边形BDEF是平行四边形，EF=BD∠FED=∠CBD
∴∠FED=∠CAE,AE=EF，所以∠EAF=∠AFE
在△AEF中，∠EAF+∠AFE+∠AEF=180,即2∠AFE+∠AEF=180
∵∠AED=∠ADG-∠DAE=60-∠DAE,
∴∠AEF=∠AED+∠FED=60-∠DAE+∠DAE=60
∴2∠AFE+60=180,∠AFE=60

Answer 2

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，
∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°，
∴△AGD是等边三角形，
AG=GD=AD，∠AGD=60°．
∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，
∵∠AGD=∠BAD，AG=AD，
∴△AGE≌△DAB；

（2）解：由（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG．
∵EF∥DB，DG∥BC，
∴四边形BFED是平行四边形．
∴EF=BD，
∴EF=AE．
∵∠DBC=∠DEF，
∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°．
∴△AFE是等边三角形，∠AFE=60°．

Answer 3

额 晕