Question

【急】已知向量a=(cos3x/2,sin3x/2),向量b=(cosx/2,-sinx/2),x∈[－∏/3,∏/2]

(1)求证（a-b）⊥（a+b）
(2)若|a+b|=1/3，求cosx的值

Answer 1

解：（1）a-b=(cos3x/2-cosx/2,sin3x/2+sinx/2),a+b=(cos3x/2+cosx/2,sin3x/2-sinx/2),那么
（a-b）*（a+b）=cos^23x/2-cos^2x/2+sin^23x/2-sin^2x/2=1-1=0
所以有（a-b）⊥（a+b）。
（2）有|a+b|=1/3 可得
cos^23x/2+2*cos3x/2*cosx/2+cos^2x/2+sin^23x/2-2*sin3x/2*sinx/2+sin^2x/2=1/9
2+2*(cos3x/2*cosx/2-sin3x/2*sinx/2)=1/9 即cos(3x/2+x/2)=-17/18 cos(2x)=-17/18
又cos2x=2cos^2x-1
所以cos^2 x=1/36 x∈[－∏/3,∏/2] .
所以 cosx=1/6。
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Answer 2

（1） 向量a-向量b=（cos3x/2-cosx/2，sin3x/2+sinx/2)
向量a+向量b=（cos3x/2+cosx/2，sin3x/2-sinx/2)
(向量a-向量b)(向量a+向量b)=（cos3x/2-cosx/2，sin3x/2+sinx/2)（cos3x/2+cosx/2，sin3x/2-sinx/2)=(cos3x/2-cosx/2)(cos3x/2+cosx/2)+(sin3x/2+sinx/2)(sin3x/2-sinx/2)
=(cos3x/2)^2-(cosx/2)^2+(sin3x/2)^2-(sinx/2)^2=(cos3x/2)^2+(sin3x/2)^2-[(sinx/2)^2+(cosx/2)^2]
=1-1=0 所以 (向量a-向量b)⊥(向量a+向量b)
（2）|向量a+向量b|=√[(cos3x/2+cosx/2)^2+(sin3x/2-sinx/2)^2]
=√[(cos3x/2)^2+2cos3x/2cosx/2+(cosx/2)^2+(sin3x/2)^2-2sin3x/2sinx/2+(sinx/2)^2]
=√[2+2cos(3x/2+x/2)]=√[2+2cos2x]
=√[2(1+cos2x)]=√[2x2(cosx)^2]=2cosx x∈[－∏/3,∏/2]
2cosx =1/3 cosx =1/6

Answer 3

1) 用.表示点乘。(a-b).(a+b)=a.a-b.a+a.b-b.b=a.a-b.b=|a|^2-|b|^2=(cos3x/2)^2+(sin3x/2)^2-
(sinx/2)^2-(cosx/2)^2=0，故（a-b）⊥（a+b）。
2) a+b=(cos3x/2+cosx/2, sin3x/2-sinx/2), |a+b|^2=1/9=(cos3x/2+cosx/2)^2+( sin3x/2-sinx/2)^2=2+2cos3x/2*cosx/2-2sin3x/2*sinx/2=2+cos2x+cosx+cos2x-cosx=2+2cos2x=4(cosx)^2=1/9，故cosx=1/6.