Question

化简【（1+sinα+cosα）（sinα/2-cosα/2）】/根号下2+2cosα。要过程

Answer 1

2+2cosα=2（1+cosα)=2[sin^2(α/2)+cos^2(α/2)）+cos^2(α/2)）-sin^2(α/2)]=4cos^2(α/2)）
1+sinα+cosα=（1+cosα）+sinα=2cos^2(α/2)）+2sin(α/2)cos(α/2)=2cos(α/2)[cos(α/2)+sin(α/2)]
【（1+sinα+cosα）（sinα/2-cosα/2）】/
=2cos(α/2)[cos(α/2)+sin(α/2)]（sinα/2-cosα/2）
=-2cos(α/2)cosα
所以求式=-cos(α/2)cosα/|cos(α/2)|
分为两种情况1、cos(α/2)<0时，即π+4kπ<α<3π+4kπ,k为整数，求式=cosα
2、cos(α/2)>0时，即α<π+4kπ或α>3π+4kπ,k为整数，求式=-cosα

Answer 2

1+sinα=sin²α/2+cos²α/2+2sinα/2cosα/2=﹙cosα/2+sinα/2﹚²
cosα=cos²α/2－sin²α/2=﹙cosα/2+sinα/2﹚﹙cosα/2－sinα/2﹚
√﹙2+2cosα﹚=√[2﹙1+cosα﹚]=√﹙2×2cos²α/2﹚=2cosα/2

∴【（1+sinα+cosα）（sin α/2-cosα/2）】/√﹙2+2cosα﹚
=【[﹙cosα/2+sinα/2﹚²＋﹙cosα/2+sinα/2﹚﹙cosα/2－sinα/2﹚]×（sin α/2-cosα/2）】/√﹙2+2cosα﹚
=【﹙cosα/2+sinα/2﹚×2cosα/2×（sin α/2-cosα/2）】 /√﹙2+2cosα﹚
=－2cosα/2×cosα/﹙2cosα/2﹚
=－cosα