Question

微积分计算题！

Answer 1

(1) Integrate[1/(x Ln[x]), x] = Integrate[1/Ln[x], Ln[x]] = Ln[Ln[x]]+c
(2) Integrage[E^t/(E^2t+1),t]=Ingegrate[1/(E^2t+1),E^t]=arctan[E^t]
Integrate[Sqrt[Cos[x]-Cos[x]^3],{x,-Pi/2,Pi/2}]=Integrate[Sqrt[Cos[x] Sin[x]^2],{x,-Pi/2,Pi/2}]
=-Integrate[Sin[x] Sqrt[Cos[x]],{x,-Pi/2,0}]+Integrate[Sin[x] Sqrt[Cos[x]],{x,0,Pi/2}]
=Integrage[Sqrt[Cos[x]],{Cos[x],-Pi/2,0}]-Integrate[Sqrt[Cos[x]],{Cos[x],0,Pi/2}]
=2/3 Cos[x]^(3/2)(此处把积分限代入)=4/3
lim[Integrate[(x-t)f[t],t]/x Integrate[f[x-t],t]]=lim[(x Integrate[f[t],t]-Integrate[t f[t],t])/xIntegrate[f[t],t]]
=lim[Integrate[f[t],t]/(Integrate[f[t],t]+x f[x])]
=f[0] x/(f[0] x+x f[0]) (此处用了连续函数的性质)
=1/2
令z=y^(-1)
z'=-y^-2 y'
y'=-z'/z^2
z'=-2 x/(x^2-1) 代入原方程
z=Integrate[-2 x/(x^2-1),x]=-Ln[Abs[x^2-1]]+c
y=1/z=1/(-Ln[Abs[x^2-1]]+c)
y(0)=1/c=1 c=1
y=1/(-Ln[Abs[x^2-1]]+1)

Answer 2

如下图所示，点击放大

 

Answer 3

那个符号不知道怎么打出来

Answer 4

一
∫﹙1/xlnx﹚dx=∫﹙1/lnx﹚dlnx=ln｜lnx｜＋C

∫【e^t/[e^﹙2t﹚＋1]×dt
=∫【1/[e^﹙2t﹚＋1]×d﹙e^t﹚
=arctan﹙e^t﹚＋C

二
∫〈-π/2→π/2〉√﹙cosx－cos³x﹚×dx
=∫〈-π/2→π/2〉√[cosx﹙1－cos²x﹚]×dx
=∫〈-π/2→π/2〉√﹙cosx×sin²x﹚×dx
=∫〈-π/2→0〉﹙－sinx﹚√﹙cosx﹚×dx＋∫〈0→π/2〉sinx√﹙cosx﹚×dx
=∫〈-π/2→0〉√﹙cosx﹚×d﹙cosx﹚－∫〈0→π/2〉√﹙cosx﹚×d﹙cosx﹚
=2/3×﹙cosx﹚^﹙3/2﹚｜〈-π/2→0〉－2/3×﹙cosx﹚^﹙3/2﹚｜〈0→π/2〉
=4/3

三
lim〈0→x〉【∫〈0→x〉﹙x－t﹚f﹙t﹚dt】／【x∫〈0→x〉f﹙x－t﹚dt】这是0/0型用罗比达法则
=lim〈0→x〉【x∫〈0→x〉f﹙t﹚dt－ ∫〈0→x〉tf﹙t﹚dt】／【x∫〈0→x〉f﹙x－t﹚dt】
=lim〈0→x〉【∫〈0→x〉f﹙t﹚dt＋xf﹙x﹚－xf﹙x﹚】／【∫〈0→x〉f﹙x－t﹚dt＋xf﹙0﹚】
=lim〈0→x〉【∫〈0→x〉f﹙t﹚dt】／【∫〈0→x〉f﹙x－t﹚dt＋xf﹙0﹚】仍是0/0型
=lim〈0→x〉f﹙x﹚／【f﹙0﹚＋f﹙0﹚+0】
=1/2

四
﹙x²－1﹚y'＋2xy²＝0
∴﹙x²－1﹚dy/dx＝－2xy²
∴dy／y²＝－2x／﹙x²－1﹚dx＝2x／﹙1－x²﹚dx
∴∫dy／y²＝∫[2x／﹙1－x²﹚]dx
∴－1/y＝∫[1/﹙1－x²﹚]dx²＝－∫[1/﹙1－x²﹚]d﹙1－x²﹚＝－ln｜1－x²｜＋C
∴1/y＝ln｜1－x²｜＋C