Question

已知函数f（x)=log1/2|sinx|

（1）判断奇偶性。
（2)判断周期性，若是周期函数，求周期。
（3)写出单调区间

Answer 1

首先令：φ（x）=sinx-cosx，
则φ（x）>0 即可求得定义域范围；φ（x）'=0，可求出单调函数区间。
很显然，由正弦余弦的图像，可以看出该函数的定义区间（π/4+2kπ,5π/4+2kπ）
φ（x）^'=sinx+cosx=0，在（π/4,5π/4）内，只有x=3π/4时，φ（x）'=0。
当x∈（π/4,3π/4）时，为φ（x）'>0，即φ（x）为增函数。则f（x）为减函数。
当x∈（3π/4,5π/4）时，为φ（x）'<0，即φ（x）为减函数。则f（x）为增函数。
即f（x）的单调递减区间为（π/4+2kπ,3π/4+2kπ），（随便一个含上3π/4这个端点）
单调递增区间为（3π/4+2kπ,5π/4+2kπ）
由此可知，值域为（-1/2,+∞），当x=3π/4+2kπ时，取得最小值。
由定义区间，显然可知，函数为非奇非偶函数（定义域不对称）
由以上亦可知，其周期为2π，最小正周期亦是2π。