Question

如图,在平行四边形ABCD中,AB=2,BC=4,∠ABC=60°,E,F分别是BC,AD上的两点,且BE=DF,

连AE,BF,DE,CF,分别交于点点G,H（1)求证：四边形GEHF是平行四边形

（2）若E,F分别是BC,AD上的两个动点，设BE=DF=X，试推断当x等于多少时，四边形GEHF是矩形？

Answer 1

1、∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC AD=BC
∵DF在AD上，BE在BC上
∴BE∥DF
∵BE=DF
∴FBED是平行四边形
∴BF∥ED即GF∥EH
同理AECF是平行四边形
∴AE∥FC即GE∥FH
∴四边形GEHF是平行四边形
2、当AE平分∠BAD FC平分∠BCD时，四边形GEHF是矩形
∵ABCD是平行四边形
∴∠BAD=180°-∠ABC=180°-60°=120°
∴∠ABC=∠BAC=∠AEB=60°
∴△ABE是等边三角形
∴BE=DF=AB=2

追问

第一问这么证有没有错
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BE//DF,AD=BC
∵BE平行且等于DF
∴四边形FDEB是平行四边形
∴GF//EH
∵BE=DF
∴AF=CE
∵AF平行且等于CE
∴四边形AFCE是平行四边形
∴GE=FH
∵GF//EH,GE//FH
∴四边形GEHF是平行四边形

Answer 2

1.证明：因为AB＝CD，∠ABC＝∠CDA，BE＝DF，所以三角形ABE与三角形CDF全等。
因此∠AEB＝∠CFD。又AD平行BC，有∠AEB＝∠EAD，所以∠EAD＝∠CFD
所以AE平行CF。同理可证，BF平行DE。所以四边形GEHF是平行四边形。
2.当四边形GEHF是矩形时，∠AEB+∠DEC＝90°，故有tan∠AEB=cot∠DEC。
tan∠AEB＝2*sin60°/（X－1）＝√3/（X－1），
cot∠DEC＝（4+1－X）/2*sin60°＝（5-X）/√3
√3/（X－1）＝（5-X）/√3，解得X＝2或X＝4，
X＝4不符合题意，舍去，所以当X＝2时，四边形GEHF为矩形。