Question

已知函数f(x)=sin²x+2sinxcosx+3cosx²x,x∈R.求：

已知函数f(x)=sin²x+2sinxcosx+3cosx²x,x∈R.求：
⑴函数f(x)的最大值即取得最大值的自变量x的集合;
⑵函数f(x)的单调增区间

Answer 1

f(x)=sin²x+2sinxcosx+3cosx²x
=1+2cos²x+sin2x
=cos2x+2+sin2x
=√2sin(2x+π/4)+2
最大值为 √2+2
这时 2x+π/4=2kπ+π/2
x=kπ+π/8 k∈z
x的集合为 {x|x=kπ+π/8 k∈z}

单增：
2x+π/4∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2]
x∈[kπ-3π/8,kπ+π/8]
所以
单调增区间为
[kπ-3π/8,kπ+π/8] k∈z

Answer 2

f(x)=1+sin2x+ 2(cosx)^2=2+sin2x+cos2x=2+√2sin(2x+π/4)
1）当2x+π/4=2kπ+π/2, 即x=kπ+π/8时，f(x)取最大值2+√2
2)单调增区间：
2kπ-π/4<2x+π/4<2kπ+π/2, 即： kπ-π/4<x<kπ+π/8
单调减区间：
2kπ+π/2<2x+π/4<2kπ+3π/2, 即： kπ+π/8<x<kπ+5π/8

这里k都为任意整数。