Question

四边形ABCD中，向量AB=向量DC=(1,1)，向量BA/｜向量BA｜+向量BC/｜向量BC｜=根号3*向量BD / ｜向量BD｜

求ABCD面积

我搞不懂为什么单位向量+单位向量=根号三单位向量，而且证明了BD=根号三AB=根号三BC

Answer 1

首先回答你关于“为什么单位向量+单位向量=根号三单位向量”的疑问

这是 题目的已知条件，不是 单位向量+单位向量 就一定 =根号三单位向量。后面的结论是由题目的已知条件包括上面这个条件推出的结论。下面我来演算给你看：

为了便于叙述，设e1，e2，e3是单位向量，且BA=|BA|e1，BC=|BC|e2，BD=|BD|e3
则 向量BA/｜向量BA｜+向量BC/｜向量BC｜=根号3*向量BD / ｜向量BD｜就是 e1+e2=√3e3
即 1/(√3)(e1+e2)=e3 ...................①
因为 ABCD是平行四边形，所以 向量BA+BC=BD
即 |BA|e1+|BC|e2=|BD|e3
所以 |BA|e1/|BD|+|BC|e2/|BD|=e3 .......................②
比较①②可得 |BA|=|BC|=|BD|/√3
所以四边形是菱形
又 向量AB=向量DC=(1,1)，所以 |AB|=√2，所以|BD|=√6
由于 菱形的对角线互相垂直平分，由勾股定理可计算另一条对角线长为√2
所以 四边形的面积=√2√3/2=√3

Answer 2

设e1，e2，e3是单位向量，且BA=|BA|e1，BC=|BC|e2，BD=|BD|e3
则 向量BA/｜向量BA｜+向量BC/｜向量BC｜=根号3*向量BD / ｜向量BD｜就是 e1+e2=√3e3
即 1/(√3)(e1+e2)=e3 ...................①
因为 ABCD是平行四边形，所以 向量BA+BC=BD
即 |BA|e1+|BC|e2=|BD|e3
所以 |BA|e1/|BD|+|BC|e2/|BD|=e3 .......................②
比较①②可得 |BA|=|BC|=|BD|/√3
所以四边形是菱形
又 向量AB=向量DC=(1,1)，所以 |AB|=√2，所以|BD|=√6
由于 菱形的对角线互相垂直平分，由勾股定理可计算另一条对角线长为√2
所以 四边形的面积=√2√3/2=√3

Answer 3

√3