Question

求高手，微积分

Answer 1

写错题了。锥面应该是x^2+y^2＝z^2，否则曲面是无界的，积分不存在。
圆锥面z＝根号(x^2+y^2)，D={(x，y):x^2+y^2<=1}，记成C。
补上面S：z＝1，x^2+y^2<=1，方向朝上，即法向量是(0，0，1)。
在面S上的曲面积分：由于dydz＝dzdx＝0，
于是其积分值＝1^2×S的面积＝pi。
用Gauss公式：注意C的发方向朝上，用Guass公式要求法向量朝下。
记C^(－)法向量朝下，
第二型曲面积分_C x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy
=－第二型曲面积分_C^(－) x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy
＝－第二型曲面积分_{C^(－)并S} x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy
+第二型曲面积分_S x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy
＝－三重积分_V (2x+2y+2z)dxdydz+pi （注意对称性，x，y的积分是0）
＝－二重积分_D dxdy 积分（从根号(x^2+y^2)到1）2zdz+pi
＝－二重积分_D (1－(x^2+y^2))dxdy+pi
＝－pi/2+pi
＝pi/2。
有疑问可以追问。