Question

已知角α,β∈(0,π),向量a=(sin(x+α),cosx),向量b+(sin(x+α),-cosx)向量c=（sin（x+β），cosx）

向量d=（sin(x+β），-cosx） (1)若f(x)=向量a×向量b+向量c×向量d，求函数f(X)的表达式
（2）当α=β=π/4时，求函数f(x)的单调区间（3）是否存在恰当的α，β，使得对任意实数x，函数f(X)是常函数，若存在，不妨设f(X)=M,求出M及α，β的值；若不存在，说明理由

Answer 1

(1)
向量a=(sin(x+α),cosx),向量b=(sin(x+α),-cosx),
向量a·向量b= sin²(x+α)-cos²x。

向量c=（sin（x+β），cosx），向量d=（sin(x+β），-cosx），
向量c·向量d= sin²（x+β）-cos²x。

f(x)= sin²(x+α)-cos²x+ sin²（x+β）-cos²x
= sin²(x+α) + sin²（x+β）-2cos²x.
(2)
当α=β=π/4时，
f(x)= sin²(x+α) + sin²（x+β）-2cos²x
= sin²(x+π/4) + sin²（x+π/4）-2cos²x
= 2sin²（x+π/4）-2cos²x
=1-cos（2x+π/2）-2cos²x
=1+sin2x-2cos²x
= sin2x-(2cos²x-1)
= sin2x-cos2x
=√2 sin(2x-π/4）

2kπ-π/2≤2x-π/4≤2kπ+π/2，k∈Z,
kπ-π/8≤x≤kπ+3π/8，k∈Z,
所以函数的单调递增区间是[kπ-π/8, kπ+3π/8],k∈Z.
同理可得函数的单调递减区间是[kπ+3π/8, kπ+7π/8],k∈Z.

(3)
当α=β=π/2时，
f(x)= sin²(x+α) + sin²（x+β）-2cos²x
= sin²(x+π/2) + sin²（x+π/2）-2cos²x
= cos²x + cos²x-2cos²x
=0，

∴存在α=β=π/2，f(x)=0，即M=0.