Question

正三角形充要条件

高一。
王后雄学案上说ΔABC是正三角形的充要条件是角ABC成等差数列，边abc成等比数列。
为什么？
公差d=1？公比q=1？
这样也没有意义啊。
还是写错了不是正三角形？
说错了，是d=0,？？q=1？？

Answer 1

ΔABC是正三角形

差d=0公比q=1

是必要条件

若A、B、C成等差数列，则：B=60°、A＋C=120°；
另外，a、b、c成等比数列，则：b²=ac。则：
b²=a²＋c²－2accosB=a²＋c²－ac
a²＋c²－ac=ac
(a－c)²=0
a=b=c

是充分条件

充要条件是角ABC成等差数列，边abc成等比数列。

Answer 2

若A、B、C成等差数列，则：B=60°、A＋C=120°；
另外，a、b、c成等比数列，则：b²=ac。则：
b²=a²＋c²－2accosB=a²＋c²－ac
a²＋c²－ac=ac
(a－c)²=0
a=c
从而，a=b=c