Question

反常积分收敛性

Answer 1

收敛，用比较判别法。
因为∫1/x^pdx 只要p>1就收敛，你把1/(x^2)分成两部分 1/[(x^1.5)*(x^0.5)]
1/x^1.5这部分用来保证收敛， 1/x^0.5这部分用来保证 (lnx)^2/x^0.5有界
用两次罗比达法则就可以证明 当x趋向于正无穷时 (lnx)^2/x^0.5极限为零
因而有界。

Answer 2

首先∫(1,+∞)ln^2x/x^2为无穷积分
令p∈(1,2)
用比较判别法：
lim (ln^2x/x^2)*x^((1+p)/2)
=lim ln^2/x^((3-p)/2)
根据L'Hospital法则
=lim 2lnx/(x*((3-p)/2)*x^((1-p)/2))
=lim 2lnx/(((3-p)/2)*x^((3-p)/2))
=(4/(3-p))*lim lnx/x^((3-p)/2)
=(8/(3-p)^2)*lim 1/x^((3-p)/2)
=0
又因为(1+p)/2>1
故∫(1,+∞) 1/x^((1+p)/2)收敛
因此原反常积分收敛
有不懂欢迎追问