Question

已知等比数列{an}的各项均为正数,且a1+a2=4a3^2=16*a2*a6。（1）求数列{an}的通项公式

(2)设bn=log下标2 An,求数列{1/bn*bn+1}的前n项和Tn

Answer 1

注意：An是等比数列，且都为正数，所以q＞0,，这个不难理解
又 a1 +a2=4a32=16a2a6 将其全部转化成a1和q的表达式
a1+ a1q=4a12q4=16 a12q6,即a1+ a1q=4a12q4……①，4a12q4=16 a12q6…..②
由②得 q2=1/4,上知q＞0，故得q=1/2,带入①，求得a1=6,
所以 An=A1qn-1=6×（1/2）n-1=12/2n
此处已经解决第一问，下面开始第二问

bn=log2An=log2（12/2n）=2 + log23 – n
另外，An为等比数列，可以利用其性质，做点文章
即An+1/An=q=常数=1/2
又知bn=log2An，故bn+1=log2An+1
bn+1- bn= log2An+1 - log2An= log2（An+1/An）= log2q= log2 （1/2）=-1(常数)
所以bn为等差数列，公差为-1
即bn+1=bn – 1
题中Tn=∑1/( bn bn+1)= ∑1/( bn-1)bn=∑[1/( bn-1)-1/ bn ]
=∑[1/bn-1-1/ bn ]
=1/b2-1/b1+1/b3-1/b2+……+1/bn+1-1/bn

=1/bn+1-1/b1
=(b1-bn+1)/b1bn+1
=n/[(1+log23)(1+log23-n)].

Answer 2

由a1+a2=4a3^2=16*a2*a6得
a1(1+q)=4(a1q^2)^2=16a1^2*q^6,
由后者，q^2=1/4,q>0,
q=1/2.代入前者，
3a1/2=a1^2/4,a1>0,
a1=6.
(1)an=6*(1/2)^(n-1)=3/2^(n-2).
(2)bn=log<2>3-(n-2)=2+log<2>3-n,
1/[bnb<n+1>]=1/b<n+1>-1/bn,
∴Tn=1/b2-1/b1+1/b3-1/b2+……+1/b<n+1>-1/bn
=1/b<n+1>-1/b1
=(b1-b<n+1>)/[b1b<n+1>]
=n/[(1+log<2>3)(1+log<2>3-n)].