Question

如图所示，D是等边三角形ABC外一点，DB=DC,角BDC=120,点E,F分别在AB,AC上。

求证：AD垂直平分BC.2若ED平分角BEF，则：FD平分角EFC且三角形AEF的周长是BC的2倍

Answer 1

1，证明：因为BD=DC
所以角DBC=角DCB
因为角BDC=120度
所以角DBC=角DCB=30度
因为三角形ABC是等边三角形
所以AB=AC
角BAC=60度
所以角BAC+角BDC=180度
所以A.B,D,C四点共圆
所以角DAC=角DBC=30度
角DAB=角DCB=30度
所以角DAB=角DAC
所以AD平分角BAC
因为AB=AC（已证)
所以AD垂直平分BC
2，证明：在EF上取EG=BE,连接DG,CG
所以三角形BEG是等腰三角形
因为ED平分角BEF
所以角BED=角DEG
因为ED=ED
所以三角形BED和三角形GED全等（SAS)
所以角EBD=角EGD
BD=DG
因为三角形ABC是等边三角形
所以角AB=AC=BC
角ABC=角ACB=60度
因为DB=DC
所以DC=DG
角DBC=角DCB
因为角BDC=120度
所以角DBC=角DCB=30度
因为角EBD=角ABC+角DBC=90度
角FCD=角ACB+角DCB=90度
所以角EGD=90度
因为角EGD+角FGD=180度
所以角FGD=角FCD=90度
因为DG=DC(已证）
FD=FD
所以直角三角形FGD和直角三角形FCD全等（HL)
所以FG=FC
角GFD=角CFD
所以FD平分角EFC
因为三角形AEF的周长=AE+EF+AF
因为AB+AC=2BC=AE+BE+AF+CF=AE+EG+FG+FC=AE+EF+FC
所以三角形AEF的周长=2BC
所以三角形AEF的周长等腰2倍BC

追问

太长了啊

追答

怕你看不懂，所以过程些得详细

追问

你写那么长，我更看不懂了

Answer 2

(1)DB=DC,AB=AC,AD=AD,则⊿ABD≌⊿ACD（SSS）,得∠BAD=∠CAD.
所以,AD是BC的垂直平分线.(等腰三角形"三线合一")
(2)DB=DC,∠BDC=120°,则∠DBC=∠DCB=30°.
又∠ABC=∠ACB=60°,则DB垂直AB,DC垂直AC.
作DG垂直EF于G.ED平分角BEF,则DB=DG=DC,得FD平分角EFC.(等腰三角形"三线合一")
(3)DB=DG,DE=DE,则Rt⊿DBE≌Rt⊿DGE(HL),得BE=EG;同理可证:CF=FG.
则AE+EF+FA=AE+EG+FG+FA=(AE+EB)+(CF+FA)=AB+AC=2BC.