Question

已知（X^2-2x-3)^10=a0+a1(x-1)+......+a20(x-1)^20

求a2的值，求a1+a3+a5+......+a19的值，求a0+a2+a4+......a20的值

Answer 1

x^2-2x-3=(x-1)^2-4
设函数fx=(x^2-4)^10
那么函数的展开系数和上面的一样，其实是把x-1换成x，好看一点
a2的值就是x^2前面的展开系数,因为题目已经是(x^2-4)^10了，故把x^2看成整体，这样就是x^2的一次项系数，根据二项式定理，x^2项=（C1,10）*(x^2)^1*(-4)^9
a2=（-4）^9*C1,10=-10*4^9=-2621440
f(1)=a0+a1+a2+……+a20=(-3)^10
f(-1)=a0-a1+a2-a3+a4……+a20=(-3)^10
a1+a3+a5+……+a19=[f(1)-f(-1)]/2=0
a2+a4+a6+……+a20=[f(1)+f(-1)]/2=3^10

追问

化完之后减4，不影响系数么？为什么？

追答

减4是
x^2-2x-3=(x-1)^2-4
这里多出来的-4
所以新的函数就是
fx=(x^2-4)^10
这里的x^2就是之前的(x-1)^2
要求x^2的系数，就是直接二项式展开(x^2-4)^10，注意这里把x^2看成a，把-4看成b