Question

设数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足2an-Sn=1，,n属于N+

(10求an的通项公式 （2）在数列的每两项之间都按照如下规则插入一些数后构成数列bn,在an和an+1两项中插入n个数,使这n+2个数构成等差数列,求b2012 （3）.对于中的数列bn,若bm=an求b1+b2+b3+......+bm.（用n表示）

Answer 1

第1问：
当n=1时
有2a1-S1=1，即2a1-a1=1
所以a1=1
Sn=2an-1
S(n-1)=2a(n-1)-1
an=Sn-S(n-1)
=2an-1-[2a(n-1)-1]
=2an-2a(n-1)
所以an=2a(n-1)
则数列｛an｝为首项为1，公比为2的等比数列
所以an=a1*q^(n-1)=2^(n-1)

第2问：
将数列｛bn｝分为若干组数，第n组数的第一个为an，其后为插入的n个数
则第1组有2个数，第2组有3个数，第3组有4个数，……第n组有n+1个数
设第n组数构成的等差数列为｛ck｝
公差d=[a(n+1)-an]/(n+1)=[2^n-2^(n-1)]/(n+1)=2^(n-1)/(n+1)
ck=c1+(k-1)d
=an+(k-1)*2^(n-1)/(n+1)
=2^(n-1)+2^(n-1)*(k-1)/(n+1)
=2^(n-1)*(n+k)/(n+1)
设b2012为第x组中的第y个数
前面有x-1组数
则(x-1)(x+2)/2<=2012 (x属于N+)
x^2+x-2<=4024
(x+1/2)^2<=4026
解得x=62
y=2012-(x-1)(x+2)/2=60
所以b2012为第62组数的第60项
则b2012=2^(62-1)*(62+60)/(62+1)=2^62*61/63

第3问：
因为bm=an
则b1+b2+b3+......+bm即为前n-1组数的和再加上an
而第n组数的和Sn
=[an+a(n+1)-d](n+1)/2
=[2^(n-1)+2^n-2^(n-1)/(n+1)](n+1)/2
=2^(n-2)*(3n+2)
假设等差数列｛dn｝和等比数列｛en｝且dn=3n+2，en=2^(n-2)
设Tn为数列｛Sn｝的前n项之和
即Tn=d1*e1+d2*e2+……+dn*en
则有2Tn=d1*e2+d2*e3+……+dn*e(n+1)
Tn-2Tn=e1*d1+e2*(d2-d1)+e3*(d3-d2)+……+en*[dn-d(n-1)]-e(n+1)*dn
-Tn=e1*d1-e(n+1)*dn+3*(e2+e3+……+en)
=5*2^(-1)-(3n+2)*2^(n-1)+3*e2*[1-2^(n-1)]/(1-2)
=5/2-(3n+2)*2^(n-1)+3*[2^(n-1)-1]
=-(3n-1)*2^(n-1)-1/2
所以Tn=(3n-1)*2^(n-1)+1/2
而b1+b2+b3+......+bm
=S1+S2+S3+……+S(n-1)+an
=T(n-1)+2^(n-1)
=(3n-4)*2^(n-2)+1/2+2^(n-1)
=(3n-2)*2^(n-2)+1/2