Question

第二个that是什么成分？

It was a gesture that I deeply appreciated, because she was admitting a trouble spot for her at the same time that she was giving me feedback and reaching out.

Answer 1

第一个that是强调句句型中的that；
第二个that是定语从句中的固定句型
先行词time指物，在从句中作主语或宾语时，选用关系代词that/which，如果作宾语且前无介词则可省略；
先行词time指物，在从句中作状语时为固定搭配，有三种选择：that，省略，in which
这种用法并不仅限time，还有一个way， 在从句中作状语时为固定搭配，有三种选择：that，省略，in which。
祝好！（Frank Gu）

Answer 2

it is/was ……+that……是强调句型。固定搭配，不充当什么成分。