Question

高等数学二重积分的计算： ∫∫（2x-y)dσ, D是由y=1,2x-y+3=0,x+y-3=0围成的区域。 D

Answer 1

计算过程如下：

D是△ABC，其中A(0,1)，B(2,1)，C(1,2)

原式=∫dx∫(2x-y)dy+∫dx∫(2x-y)dy

=∫dx*(2xy-y^2/2)|+∫dx*(2xy-y^2/2)|

=(1/2)∫(3x^2-2x)dx-(1/2)∫(5x^2-14x+8)dx

=2/3

二重积分的意义：

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

Answer 2

积分区域是： 1<=y<=3, (y-3)/2<=x<=3-y
原式=∫dy∫(2x-y)dx
=∫(x^2-xy)dy,
=∫[(3-y)^2-y(3-y)-(1/4)(y-3)^2+y(y-3)/2]dy
=∫(9y^2/4-9y+27/4)dy,1<=y<=3
=3y^3/4-9y^2/2+27y/4,1<=y<=3
=(3/4)*26-(9/2)*8+27/2
=39/2-36+27/2
=33-36
=-3

Answer 3

 

Answer 4

学了之后就再也没看过，忘到天边去了。。。囧