Question

求解：已知x,y为实数，x²+xy+y²=1求x²-xy+y²的取值范围。

Answer 1

解：
x²+xy+y²=1
1=x²+y²+xy≥2|xy|+xy
xy≥0, 则 1≥3xy, 得到xy≤1/3
xy<0, 则 1≥-xy, 得到 xy≥-1
所以 -1≤xy≤1/3
x²-xy+y²
=1-xy-xy
=1-2xy
-1≤xy≤1/3
-2/3≤-2xy≤2
所以 x²-xy+y²的取值范围是【1/3, 3】

Answer 2

解
换元， 可设
x=a+b, y=a-b, (a,b∈R)
代入题设条件等式，
3a²+b²=1
z=x²-xy+y²=a²+3b²
∴问题可化为，当3a²+b²=1时，
求z=a²+3b²的范围。
3z=3a²+9b²=1+8b²≥1
∴z≥1/3
z=a²+3(1-3a²)=3-8a²≤3
∴1/3≤z≤3

Answer 3

解：∵x^2+y^2≧2xy ∴(x^2+y^2)/2≧xy(当且仅当x=y时取等号)
∴3(x^2+y^2)/2≧x^2+xy+y^2=1
1=x^2+xy+y^2≧3xy (当且仅当x=y时取等号)
∴x^2+y^2≧2/3 xy≦1/3 ∴-xy≧-1/3
∴x^2-xy+y^2≧2/3-1/3=1/3 (当且仅当x=y时取等号)
故x^2-xy+y^2得取值范围为[1/3,+∞)