Question

高等数学格林公式问题

计算∮（x^2-2y）dx+(3x+ye^y)dy，其中L为直线y=0，x+2y=2及圆弧x^2+y^2=1所围成区域D的边界，方向为逆时针方向。
解 P=x^2-2y,Q=3x+ye^y,由格林公式，有
∮(x^2-2y)dx+(3x+ye^y)dy
=∫∫(3+2)dxdy
=5(π/4+1) 其中，等式的第一步到第二步的具体过程是怎么样的。

Answer 1

计算∮（x^2-2y）dx+(3x+ye^y)dy，其中L为直线y=0，x+2y=2及圆弧x^2+y^2=1所围成区域D的边界，方向为逆时针方向。

 

解：格林公式：[C]∮Pdx+Qdy=[C]∫∫(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy，P=x²-2y；Q=3x+ye^y.

其中∂Q/∂x=3；∂P/∂y=-2；代入得:

[C]∮Pdx+Qdy=[C]∫∫(3+2)dxdy=[D]5∫∫dxdy

将直线方程x=2-2y代入园的方程得(2-2y)²+y²=4-8y+5y²=1，即有5y²-8y+3=(5y-3)(y-1)=0

故得直线与圆的交点的坐标为A(4/5，3/5)；B(0，1).

积分∫∫dxdy就是图形FOECAB的面积=扇形FOB的面积+三角形BOC的面积

=π/4+(1/2)×2×1=π/4+1

∴[D]∮(x^2-2y)dx+(3x+ye^y)dy=[C]∫∫(3+2)dxdy=[D]5∫∫dxdy=5(π/4+1) 

Answer 2

格林公式：∮Pdx+Qdy=∫∫（Q对x求偏导数 - P对y求偏导数）dxdy
这题里
Q对x求偏导数=3，P对y求偏导数=-2
就这么来的

追问

(π/4+1)
这个是怎么来的

追答

∫∫(3+2)dxdy=5∫∫dxdy=5×积分区域的面积
就是直线y=0，x+2y=2及圆弧x^2+y^2=1所围成区域的面积