设a为实数,求函数f(x)=x^2+|x-a|+1
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(1)∵f(-x)+f(x)=2x²+|x-a|+|x+a|+2不可能等于0,
也就是说f(-x)=f(x)不可能成立,所以不会是奇函数
∵f(-x)-f(x)=|x-a|-|x+a|∴要使f(-x)=f(x),
则须|x-a|=|x+a|∴a=0
因此,当a=0时是偶函数,当a≠0时既不是奇函数也不是偶函数
(2)
当x大于等于a,f(x)=x^2+x-a+1=(x+1/2)^2-a+3/4
所以
a小于等于-1/2,则函数在[a,+∞)最小值为f(-1/2)=3/4-a
若a大于-1/2,则在[a,+∞)单调递减,在[a,+∞)的最小值为f(a)=a^2+1
(3)(1)当1/2=>a>=-1/2时,
(ⅰ)当x>=a时,f(x)=x^2+x-a+1,在[a,+∞)上单调增加, 所以最小值为f(a)=a^2+1;
(ⅱ)当x<a时,f(x)=x^2-x+a+1,在(-∞,a)上单调减少, 所以最小值大于f(a)=a^2+1.
综上,当1/2=>a>=-1/2时,f(x)的最小值为a^2+1.
(2)当a<-1/2时,
(ⅰ)当x>=a时,f(x)=x^2+x-a+1,在[a,+∞)内含顶点, 所以最小值为f(-1/2)=-a+3/4.
(ⅱ)当x<a时,f(x)=x^2-x+a+1,在(-∞,a)上单调减少, 所以最小值大于f(a)=a^2+1.
综上,当a<-1/2时,f(x)的最小值为-a+3/4 (因为a^2+1-(-a+3/4)=(a+1/2)^2>0).
(3)当a>1/2时,
(ⅰ)当x>=a时,f(x)=x^2+x-a+1,在[a,+∞)上单调增加, 所以最小值为f(a)=a^2+1;
(ⅱ)当x<a时,f(x)=x^2-x+a+1,在(-∞,a)内含顶点, 所以最小值为f(1/2)=a+3/4.
综上,当a>1/2时,f(x)的最小值为a+3/4
(因为a^2+1-(a+3/4)=(a-1/2)^2>0).
说明:a的这种分类起因就在绝对值号去掉后只有两类对称轴 即:x=-1/2和x=1/2 对于任意实数a,只好分为三段来讨论。
也就是说f(-x)=f(x)不可能成立,所以不会是奇函数
∵f(-x)-f(x)=|x-a|-|x+a|∴要使f(-x)=f(x),
则须|x-a|=|x+a|∴a=0
因此,当a=0时是偶函数,当a≠0时既不是奇函数也不是偶函数
(2)
当x大于等于a,f(x)=x^2+x-a+1=(x+1/2)^2-a+3/4
所以
a小于等于-1/2,则函数在[a,+∞)最小值为f(-1/2)=3/4-a
若a大于-1/2,则在[a,+∞)单调递减,在[a,+∞)的最小值为f(a)=a^2+1
(3)(1)当1/2=>a>=-1/2时,
(ⅰ)当x>=a时,f(x)=x^2+x-a+1,在[a,+∞)上单调增加, 所以最小值为f(a)=a^2+1;
(ⅱ)当x<a时,f(x)=x^2-x+a+1,在(-∞,a)上单调减少, 所以最小值大于f(a)=a^2+1.
综上,当1/2=>a>=-1/2时,f(x)的最小值为a^2+1.
(2)当a<-1/2时,
(ⅰ)当x>=a时,f(x)=x^2+x-a+1,在[a,+∞)内含顶点, 所以最小值为f(-1/2)=-a+3/4.
(ⅱ)当x<a时,f(x)=x^2-x+a+1,在(-∞,a)上单调减少, 所以最小值大于f(a)=a^2+1.
综上,当a<-1/2时,f(x)的最小值为-a+3/4 (因为a^2+1-(-a+3/4)=(a+1/2)^2>0).
(3)当a>1/2时,
(ⅰ)当x>=a时,f(x)=x^2+x-a+1,在[a,+∞)上单调增加, 所以最小值为f(a)=a^2+1;
(ⅱ)当x<a时,f(x)=x^2-x+a+1,在(-∞,a)内含顶点, 所以最小值为f(1/2)=a+3/4.
综上,当a>1/2时,f(x)的最小值为a+3/4
(因为a^2+1-(a+3/4)=(a-1/2)^2>0).
说明:a的这种分类起因就在绝对值号去掉后只有两类对称轴 即:x=-1/2和x=1/2 对于任意实数a,只好分为三段来讨论。
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