Question

设a为实数,求函数f(x)=x^2+|x-a|+1

1，讨论f(x)的奇偶性
2，当x>=a时，求f(x)的最小值
3，求f(x)的最小值

Answer 1

(1)∵f（－x）＋f（x）＝2x²＋|x－a|＋|x＋a|＋2不可能等于0，
也就是说f（-x）＝f（x）不可能成立，所以不会是奇函数
∵f（-x）－f（x）＝|x－a|－|x＋a|∴要使f（-x）＝f（x）,
则须|x－a|＝|x＋a|∴a=0
因此，当a=0时是偶函数，当a≠0时既不是奇函数也不是偶函数
(2)
当x大于等于a，f(x)=x^2+x-a+1=(x+1/2)^2-a+3/4
所以
a小于等于-1/2，则函数在[a,+∞)最小值为f(-1/2)=3/4-a
若a大于-1／2，则在[a,+∞)单调递减，在[a,+∞)的最小值为f(a)=a^2+1

(3)(1)当1/2=>a>=-1/2时，
(ⅰ)当x>=a时，f(x)=x^2+x-a+1,在[a,+∞）上单调增加， 所以最小值为f(a)=a^2+1;
(ⅱ)当x<a时,f(x)=x^2-x+a+1，在（-∞，a)上单调减少， 所以最小值大于f(a)=a^2+1.
综上，当1/2=>a>=-1/2时，f(x)的最小值为a^2+1.
(2)当a<-1/2时，
(ⅰ)当x>=a时，f(x)=x^2+x-a+1,在[a,+∞）内含顶点， 所以最小值为f(-1/2)=-a+3/4.
(ⅱ)当x<a时,f(x)=x^2-x+a+1，在（-∞，a)上单调减少， 所以最小值大于f(a)=a^2+1.
综上，当a<-1/2时，f(x)的最小值为-a+3/4 （因为a^2+1-(-a+3/4)=(a+1/2)^2>0）.
(3)当a>1/2时，
(ⅰ)当x>=a时，f(x)=x^2+x-a+1,在[a,+∞）上单调增加， 所以最小值为f(a)=a^2+1;
(ⅱ)当x<a时,f(x)=x^2-x+a+1，在（-∞，a)内含顶点， 所以最小值为f(1/2)=a+3/4.
综上，当a>1/2时，f(x)的最小值为a+3/4
（因为a^2+1-(a+3/4)=(a-1/2)^2>0）.

说明：a的这种分类起因就在绝对值号去掉后只有两类对称轴 即：x=-1/2和x=1/2 对于任意实数a,只好分为三段来讨论。