Question

极限问题6道，一道给25分。最好写在纸上拍下来，不然太吃力，看不懂。谢谢！

1.已知当x→1时，√（x+a）+b与x^2-1是等价无穷小，是确定常数ab的值。
（以下前道题皆省略“lim(x→0)”,最后一题省略lim(x→1)，求下列极限:
2.分子：(1+x)ln(1+x^2) 分母：x(e^x^2-1)
3.分子：根号下（1+x^4)减三次根号下（1-2x^2) 分母：tanxsinx(1-cosx)
4.（cosx)^(1/x^2)
5.((3^x+5^x)/2))^(1/x)
6.(注意这是最后一题）（1-x)/lnx
万谢！
其实只要写出关键步骤就好了，我看得懂。

Answer 1

上传图片，可能审核有点慢，第三题再详细写一下呗

追问

题目没有错，好像是无穷大。写下过程。再证明一下（2）中两个等价关系。自学高等数学，有点困难。

追答

(3)

Answer 2

1、题目没写明白，你的根号我不知道里面是啥
2、利用等价无穷小ln（1+x）~X,e^x^2-1~x^2
原式=1
3、分母：tanxsinx(1-cosx)相当于X的四阶无穷小；分子只有X的2阶无穷小
所以答案=无穷大
4、原式=LIM e^（lncosX /x^2),再利用洛必达法则，答案=e^（-1/2）
5、原式同上式解法类似，原式=LIM e^【ln（3^x+5^x)/2））/x】=e^【（ln3+ln5）/2】
6.令t=x-1，则原式= - lim(t→0) 【 t/ ln（t+1）】，答案=-1

Answer 3

1
lim(x->0)(x^2-1)/(√(x+a)+b)=lim(x->1)2x/(1/2√(x+a)=lim(x->1)2x*2√(x+a)=4√(a+1)=1
a+1=1/16 a=-15/16
x->1, x^2-1->0 √(x+a)+b->0 b=-1/4

2
lim(1+x)ln(1+x^2)/[xe^(x^2-1)]
=lim [ln(1+x^2)+(1+x)2x/(1+x^2) ]/[e^(x^2-1)+2x^2e^(x^2-1)]
=0

lim[√(1+x^4)-(1-2x^2)^(1/3)]/[tanxsinx(1-cosx)]
=lim[2x^3/√(1+x^4)+(1/3)4x(1-2x^2)^(-2/3)] /[secx^2*(sinx-sinxcosx)+tanx(cosx-cosx^2+sinx^2)]
=lim[2x^3/√(1+x^4)+(4x/3)(1-2x^2)^(-2/3)]/[sinx/cosx^2-sinx^2/cosx+sinx-sinxcosx+sinx^3/cosx]
=lim[2x^2/√(1+x^4)+(4/3)(1-2x^2)^(-2/3)]/[(sinx/x)(1/cosx^2-tanx+1-cosx+sinx^2/cosx]
=(4/3) (sinx/x->1 1/cosx^2->1 cosx->1 tanx->0 sinx^2/cosx->0)

limcosx^(1/x^2)=lim[(1-2(sin(x/2))^2) ^(-1/2sin(x/2)^2)] ^[-2sin(x/2)^2/(x/2)^2]*(1/4)
=e^(-2)

lim[1+(3/5)^x]^(1/x)* (5^x)^(1/x)/2^(1/x)
=lim[(1+(3/5)^x]^(5/3)^(3/5x) *5/2^(1/x)
=lim5*[e^(3/5)/2]^(1/x) e^(3/5)/2=[e/32^(1/3)]^(3/5) <1 1/x->+∞
=0

lim(x->1) (1-x)/lnx 罗必塔法则 （1-x)'=-1 lnx'=1/x
=lim(-1)/(1/x)
=-1

=