Question

设随机变量X在【-1,2】上服从均匀分布,求(1)Y=X^2的概率密度?

Answer 1

采用分布函数法。涉及到X的概率用区间长度之比计算。
F(y)=P{Y≤y}=P{X²≤y}=P{-√y≤X≤√y}=2√y/3，0≤y≤1时；
=P{-1≤X≤√y}=(√y+1)/3，1<y≤4时，
对y求导即得Y的概率密度
f(y)=1/(3√y)，0<y≤1时；
1/(6√y)，1<y≤4时；
0，其它

Answer 2

分别记X ，Y的分布函数为FX(x),FY(y)
FY(y)=P{Y<=y}=P{X^2<=y}=P{X<=y^0.5)}=Fx(y^0.5)＝∫(x+1)/(2+1)dx=1/6*y+1/3*y^0.5
两边对y求导
fY(y)＝F'Y（y）= 1/6+1/6*y^-0.5
y=x^2 由-1<x<2 算出上下限0，4
所以y=2X+8的概率密度 fY(y)= 1/6+1/6*y^-0.5 （0<y<4）
= 0 其它

追问

算错了！

追答

是这样吧，不好意思，没检查好
分别记X ，Y的分布函数为FX(x),FY(y)
FY(y)=P{Y<=y}=P{X^2<=y}=P{X<=y^0.5)}=Fx(y^0.5)＝∫(x+1)/(2+1)dx=1/6*y+1/3*y^0.5
两边对y求导
fY(y)＝F'Y（y）= 1/6+1/6*y^-0.5
y=x^2 由-1<x<2 算出上下限0，4
所以y=x^2的概率密度 fY(y)= 1/6+1/6*y^-0.5 （0<y<4）
= 0 其它