Question

高中数列问题——求助——递推数列

正项数列，a1=3,an=a(n-1)平方+a（n-1)an+8n / a(n-1) +an，求an
怎么更一般的求解，类似的通法x1=3,xn+x(n-1)=2+ [n(3n+1)]/xn -x(x-1)2与后面那些不是一个分式我感觉老师给的方式是构造阿贝尔差，函数作差也就拆分n，但有时看不出来，有没有什么更一般的方法呢？

Answer 1

解, an=[a(n-1)²+a(n-1)an+8n]/[a(n-1)+an]
={a(n-1)[a(n-1)+an]+8n}/[a(n-1)+an]=a(n-1)+{8n/[a(n-1)+an]}
∴ an-a(n-1)=8n/[a(n-1)+an]
∴[an-a(n-1)][an+a(n-1)]=8n
即 an²-a(n-1)²=8n
用叠加法求 an²
a2²-a1²=8
a3²-a2²=16
a4²-a3²=24
...............
+) an²-a(n-1)²=8(n-1) (n>1)
an²=a1²+[8+16+24+...+8(n-1)]=9+8[1+2+3+...+(n-1)]=4n²-4n+9
∴an=√(4n²-4n+9). (n≥1)
此为常规解法.

Answer 2

由递推公式 可知 a(n-1)*a(n-1)+a(n-1)*a(n)+8n/a(n-1)=0
a(n)=-a(n-1)-8n/a(n-1)/a(n-1)

Answer 3

递推公式