Question

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线经过坐标原点，且两条渐近线与以点 为圆心，1为半径的

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线经过坐标原点，且两条渐近线与以点 为圆心，1为半径的圆相切，又已知C的一个焦点与A关于直线y=x对称。（1），求双曲线C的方程；（2）若Q是C上的任意一点， 为双曲线C的左右两个焦点，从 引 的平分线的垂线，垂足为M，试求动点M的轨迹方程；（3）设直线y=mx+1与曲线C的左支交于A,B两点，另一直线 经过点 及AB的中点，求直线 在y轴上的取值范围

Answer 1

1）
由题意设双曲线C的方程：x^/a^-y^/b^=1
A到渐近线bx±ay=0的
距离
d = 1 =|0±√2a|/√(a^+b^)=√2a/c
一个焦点F(√2,0)
--->c=√2
--->a=1,b=1
--->双曲线方程：x^-y^=1
（3）
设A（x1,y1),B(x2,y2),则
x^2-(mx+1)^2=1,即
(1-m^2)-2mx-1=0
∴x1+x2=2m/(1-m^2),x1x2=-1/(1-m^2)
又A，B两点在直线Y=mX+1上
∴y1+y2=2/(1-m^2)
∴AB的中点为（m/(1-m^2),1/(1-m^2)）
又直线Y=mX+1与双曲线C的 左支交于A，B两点
∴x1+x2=2m/(1-m^2)<0,x1x2=-1/(1-m^2)<0
∴-1<m<0
设过M（-2，0）和AB中点斜率为K，则
过M（-2，0）和AB中点的方程是
y=Kx+2K,直线在Y轴上截距b=2k
∵直线过AB的中点为（m/(1-m^2),1/(1-m^2)）
∴1/(1-m^2)=Km/(1-m^2)+2K
∴2Km^2-Km+1-2K=0
∴K=1/(-m^2+m+2)
∵-1<m<0
∴-m^2+m+2取值是(0,2)
∴K∈(1/2,+∞)
∴所求直线在Y轴上截距b=2K的取值范围是
(1,+∞)

Answer 2

解：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0
∵该直线与圆x2+(y-
2
)2=1相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．故设双曲线C的方程为

x2
a2
-

y2
a2
=1．

又双曲线C的一个焦点为(
2
，0)，∴2a2=2，a2=1．

∴双曲线C的方程为：x2-y2=1．
（2）由

y=mx+1x2-y2=1
得（1-m2）x2-2mx-2=0．令f（x）=（1-m2）x2-2mx-2

∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根．
因此

△＞02m1-m2＜0且-21-m2＞0
，解得1＜m＜

2
．又AB中点为(

m
1-m2
，

1
1-m2
)，

∴直线l的方程为：y=
1
-2m2+m+2
(x+2)．令x=0，得b=

2
-2m2+m+2
=

2
-2(m-
14)2+
178

．

∵m∈(1，
2
)，∴-2(m-

1
4
)2+

17
8
∈(-2+

2
，1)，

∴b∈(-∞，-2-
2
)∪(2，+∞)．

Answer 3

同学，你觉得这种东西没有图，很好做？

Answer 4

晚上12点13分