Question

已知M(2,1)和直线l:x-y=5. 1、求以M为圆心，且与直线L相切的圆的方程；2、过直线y=x+5上一点P作圆M的切...

已知M(2,1)和直线l:x-y=5.
1、求以M为圆心，且与直线L相切的圆的方程；2、过直线y=x+5上一点P作圆M的切线PA、PB，其中A、B为切点，求当四边形PAMB的面积最小时点P的坐标。

Answer 1

第一问 点到直线距离公式算出半径r
第二问 S·PAMB最小即PA(PB)最小 即根号下{PM的平方-半径r的平方}最小 即PM最小
PM最小为M到直线的垂直距离
知一点M 知一斜率（k=-1） 可求出B坐标

Answer 2

(1)解：设圆方程为(x-2)^2+(y-1)^2=r^2，与直线x-y=5相切的交点，只有唯一一点
∴x-y=5 => x=y+5 带入(x-2)^2+(y-1)^2=r^2
得(y+5-2)^2+(y-1)^2=r^2
化简得：2y^2+4y+10-r^2=0
∴△=4^2-4*2*(10-r^2)=0 => r^2=8
∴圆方程为：(x-2)^2+(y-1)^2=8
(2)解：四边形PAMB为2个全等的直角△面积之和，设S=四边形PAMB面积
则S=MA*PM*sin∠AMP=MA*MP*sqrt(1-(MA/MP)^2)=MA*sqrt(MP^2-MA^2)
设P(x,y)∈{(x,y)|y=x+5} ,A(x,y)∈{(x,y)|(x-2)^2+(y-1)^2=8}
则MA^2=8, MP^2=(x-2)^2+(y-1)^2 且y=x+5
∴S=sqrt(8)*sqrt((x-2)^2+(x+5-1)^2-8)
=sqrt(8)*sqrt(2x^2+4x+12)
=sqrt(8)*sqrt(2(x+1)^2+10)
若S取得最小值，则显然当x=-1时才能取得
∴x=-1，y=4
即P(-1,4)即为所求。