Question

已知α、β(α>β)是一元二次方程x²-x-1=0的两个实数根

已知α、β（α＞β）是一元二次方程x²-x-1=0的两个实数根，设S1=α+β，S2=α²+β²，S3=α三次方+β三次方……Sn=α（n次方）+β（n次方）
已知α²-α-1=0,β²-β-1=0，两式相加，整理得S1-S2-2=0

1.用配方法求出α、β，直接写出S1、S2的值
2.根据以上猜想Sn与Sn-1与Sn-2的数量关系并证明
3.直接写出二分之一加根号五的九次方加二分之一减根号五的九次方的值

最后一题懒得打那么多符号了

Answer 1

解：
（1）因为α、β（α＞β）是一元二次方程x²－x－1＝0的两个实数根

x²－x－1＝（x－1/2）²－1/4－1＝（x－1/2）²－5/4＝0
即（x－1/2）²＝5/4
所以x－1/2＝√5/2或x－1/2＝－√5/2
即x＝（1+√5/2）/2或x＝（1－√5）/2
因为α>β，所以α＝（1+√5/2）/2，β＝（1－√5）/2
则S1＝α+β＝（1+√5/2）/2+（1－√5）/2＝1
S2＝α²+β²＝（α+β）²－2α*β＝1－2*（1+√5/2）/2*（1－√5）/2＝3
（2）S3＝α^3+β^3＝（α+β）（α²+β²－αβ）＝1*（3+1）＝4
因为S3＝S2+S1推测Sn＝Sn-1+Sn-2
用数学归纳法证明
S4＝α^4+β^4＝（α²+β²）^2－2α²*β²＝3*3－2*1＝7
S1＝1，S2＝3，S3＝4，S4＝7
则有S3＝S2－S1，S4＝S3－S2
……
Sn-2＝α^（n-2）+β^（n-2），Sn-1＝α^（n-1）+β^（n-1），Sn＝α^n+β^n
Sn＝α^n+β^n＝α^（n-1）+β^（n-1）+α^（n-2）+β^（n-2）＝Sn-1－Sn-2
所以Sn＝Sn-1+Sn-2
（3）根据以上推测的关系式，可得S5＝S4+S3＝7+4＝11
S6＝S5+S4＝11+7＝18，S7＝S6+S5＝18+11＝29，S8＝S7+S6＝29+18＝47
S9＝S8+S7＝47+29＝76＝α^9+β^9＝[（1+√5/2）/2]^9+[（1－√5）/2]^9
即S9＝76

Answer 2

由根与系数的关系知，一元二次方程两根之和等于-b/a，两根之积等于c/a.
所以tanα+tanβ=-b,tanα*tanβ=2
则tan（α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα*tanβ)=b
又由tan（α+β)=sin（α+β)/cos（α+β)=b……（1）
sin（α+β)的平方+cos（α+β)的平方=1……（2）
（1）（2）组成方程组，解出cos(α+β)

Answer 3

1，配方法掠过……解得α=1/2(1+根号五) β1+根号五)
S1=α+β=1
S2=3
2,Sn=Sn-1+Sn-2
3，原式=α^9+β^9=S9=76