Question

数学不等式

已知：a, b, c R+，求证：（a+b+c）[1/a +1/(b+c)]≥4

Answer 1

(a+b+c)[1/a+1/(b+c)]
=[a+(b+c)][1/a+1/(b+c)]
=1+a/(b+c)+(b+c)/a+1
=2+a/(b+c)+(b+c)/a
≥2+2(应用基本不等式）
=4

Answer 2

俊狼猎英团队为您解答：
按照需要结合(b+c)为一个整体。
a+b+c=a+(b+c)≥2√(a(b+c),
1/a+1/(b+c)≥2√1/［a(b+c)］
∴原式≥4

Answer 3

原式=（a+b+c)^2 /a(b+c)=(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc) /a(b+c)
显然(2ab+2ac)/a(b+c)=2 只需证明a^2+b^2+c^2+2bc≥2a(b+c)
左式=a^2+（b+c）^2
即a^2+（b+c）^2≥2a(b+c)
即需（a-b-c）^2≥0
显然成立

Answer 4

可先把b+c看作一个整体作t
即（a+t）*（1/a +1/t）=1+a/t +t/a +1
再由均值不等式得结果

Answer 5

第一题柯西不等式x+y>=18 (x+y)=(x+y)(2/x+8/y)>=(根号(x*2/x)+根号(y*8/y))^2=（根号2+2根号2）^2=18 等号成立时有x/(2/x

Answer 6

（a+b+c)(1/a+1/(b+c）)=1+(b+c)/a+1+a/(b+c)，在用均值不等式(b+c)/a+a/(b+c)≥2，可得：（a+b+c）[1/a +1/(b+c)]≥4