Question

直线的方程与圆的方程综合题

已知直线l:3x-y-7=0,圆C:x^2+y^2-2x-4y-20=0.求与l平行且与圆C相切的直线方程。

Answer 1

直线方程为y=3x－7
圆的方程整理得（x－1）^2+(y－2)^2=37，圆心为（1,2）
过圆心作与直线l垂直的线l'
设l'为y=－x/3+b
把（1,2）代入l'，得b=7/3
l'为y=－x/3+7/3
把l'代入圆的方程中求出l'与圆的交点，也即是与l平行的直线与圆的切点
(x－1)^2+(－x/3+7/3－2)^2=37
整理后为
10(x－1)^2/9=37
(x－1)^2＝333/10
x1=1+（3√370）/10
x2=1－（3√370）/10

把x1、x2 代入l'的方程式，得
y1=2－√370/10
y2=2+√370/10
设于圆相切的直线为y=3x+a，把x1、y1,x2、y2代入得
a1=－1－√370
a2=－1+√370
与l平行且与圆C相切的直线方程为
y=3x－1－√370 和 y=3x－1+√370

Answer 2

直线方程为y=3x-7
圆的方程整理得（x-1）^2+(y-2)^2=15
圆心为（1,2）
过圆心作与直线l垂直的线l'
设l'为y=-1/3x+b
把（1,2）代入l'，得b=7/3
l'为y=-1/3x+7/3
把l'代入圆的方程中求出l'与圆的交点，也即是与l平行的直线与圆的切点
(x-1)^2+(-1/3x+7/3-2)^2=15
整理后为
x^2-2x+1=27/2
(x-1)^2=27/2
x1=1-（3√6）/2
x2=1+（3√6）/2

把x1x2 代入l'的方程式，得
y1=√6/2-2
y2=√6/2+2
设于圆相切的直线为y=3x+a，把x1y1,x2y2代入得
a1=5√6-5
a2=-5√6-5
与l平行且与圆C相切的直线方程为
y=3x+5√6-5 和 y=3x-5√6-5